最小作用量原理与物理之美6——对称守恒与作用量

"最小作用量原理、对称、守恒，就这样联系在一起了：世界的运行满足最小作用量原理，作用量的形式受对称性的约束，对称性又与某个守恒定律等价。"
好，很好！偷窥上帝的孩子。

空间中有n个固定的点,记为P1,P2,P3,…Pn; 求一个点M, 使P1M^2+P2M^2+…+PnM^2最小.即找一点,使之到给定的几个点距离的平方和最小.
这个问题有好几种做法.考虑有n根弹簧,每根弹簧的倔强系数相等,记为k;每根弹簧的原长为0,即它们始终收缩.这样一来,每根弹簧的弹力就是k*l,势能就是1/2*k*l^2,若将这些弹簧的一端固定在那些给定的点P1,P2,P3,…,Pn上,而另一端固定在一起.平衡后, 据势能驻值原理,那固定在一起的一点必能使P1M^2+P2M^2+…+PnM^2最小.于是我们用这样一个模型得到了这个问题的答案.另一种考虑的方法是,用场的观点去考虑.考虑空间中的标量场E, 它就等于P1A^2+P2A^2+…+PnA^2,A是任意一点.由求标量场极值的办法,即取E的梯度 grad E,使之等于0矢量,然后求极值.值得注意的是,没必要把E的解析式写出来再求梯度!!!一个场的场函数与坐标有关, 其梯度的表达式也与坐标有关, 但是事实上, 其梯度的矢量是与坐标选择无关的. 考虑电势场, 其梯度等于电场强度的相反矢量, 显然这是一个物理实在的量,当然与坐标选择无关(顺便一提,旋度与散度也与坐标选择无关). Grad还有一个这样的性质: 几个函数的梯度的和(矢量和)等于它们的和的梯度(这个容易证明,可利用分量来证).所以若把PiA^2看成一个函数,则定义的场E=E(A),就等于这些函数的和,其梯度也就等于这些函数的梯度之和,用这个也可以得到答案.
这个问题的答案是:M满足P1M,P2M,P3M,…,PnM这些矢量的矢量和为0.
由这个问题我们得到启发可以用物理的办法,模型来解决一些求极值的问题.下面我们来考虑一般的情形.为什么有势能驻值原理?设有一个保守力场,记为F,其势场记为E,有grad E=-F.物体受力平衡时, F=0, 即grad E=0,E取驻值.这就解释了以上做法的合理性.而对于势场E,由于有grad E=-F,在E最大的地方的附近,所有的F都指向远离此处的方向,故是不稳定平衡;对于E最小的地方的附近,所有F都指向这个地方,故是稳定平衡.
场函数的条件极值:有时,会对点的位置做出一定的限制,在数学上这对应着几个方程,在物理上则对应着约束.譬如数学上规定点必须在一个平面上,在物理上就对应着所谓双面约束.
举例说明,空间中有一个光滑的曲面S,S外有一点P,试在S上找一点N,使PN长度最小.
用类似橡皮筋的模型来考虑,类似于上面一个问题.不同之处在于,这个问题对点的位置进行了限制,使之只能在S面上.为此,S将对点提供一个支持力,方向垂直于曲面.(此处说明所谓双面约束,即S可提供垂直于S的指向两侧的支持力,就好像有两个面把点夹在了中间.单面约束只能提供一个方向的约束.因此,单面约束本质上来说是不等式约束,它把点限制在曲面的一侧,而双面约束则是等式约束,它把点限制在曲面上.)仍然用受力平衡的方法得到此题的答案是:N是这样的一点,它满足PN垂直S于N.如果用数学上场的观点来看,由于点被限制在一个曲面上,所以此时取极值的条件不再是grad E=0, 应该为grad E•△r=0. △r是指满足点在S上的前提下,点可能的极小位移.换言之,此时不再对垂直于S的梯度分量进行限制,但要求切于曲面的分量为0.联想到物理约束的观点,S提供了垂直S的约束力,也就相当于去掉了对垂直S的分量的限制.对于类似的条件极值,如约束在一条曲线上,也是一样的道理.
对于此,有一个特殊的应用—等值面.如上题的S,要求在S 上找一点使E最小.但是假如说S是E的一个等值面,S上E处处相等,则处处grad E垂直于S.用这个方法可以做一些曲面的法线.对于二元函数,其等高线也有这个性质.如作椭圆,双曲线,抛物线乃至广义椭圆的法线都可如此作.
由这些力学上的例子可以发现,自然的一些规律表现为极大或极小的性质,这种极大或极小的性质是蕴藏在自然规律之中的.比如,受力平衡的表达式与势能驻值原理是等价的.
力学上有更多的例子.力学上的模型有张力,力矩,表面张力,压强.张力其势能对应着长度,dE=T*dl;力矩的势能对应着角度,dE=M*da;表面张力的势能对应着面积,dE=k*dS;压强的势能对应着体积,dE=P*dV.由于我们只生活在三维的空间,所以力学模型仅限这几种.可以料想,如果我们生活在更高的维度,必然存在势能对应着更高维体积的力学模型.而这些力学模型为解决高维的极值问题提供了方法.
著名的等周问题:求一种闭和的平面曲线,它的周长一定时,包含最多的面积.利用与长度相对应的张力以及与面积相对应的表面张力,来考虑这个问题.把一个不可伸长的绳圈放在液面上,记绳圈内部为A,外面为B;现在A中滴加表面活性剂,使A中的表面张力系数减小.这时表面张力势能为E=SA*a1+SB*a2;由于a1<a2,表面张力最小,而又有SA+SB=S总,故此时会使SA最大,而SB最小.取绳元来受力分析可知,此种曲线的曲率半径处处相等,故是圆.
测地线:求曲面上连接两点距离取极值的线.(注:微分几何中,测地线不是这么定义的,而是用测地曲率来定义的,而且测地线实际上并不一定是长度取极值的曲线.)设想双面约束的光滑曲面上有一橡皮筋,其两端固定于曲面上两点,并设其始终收缩.平衡时,长度取驻值.取微元来分析可知,张力是定值.张力合力指向曲线的主法线方向,故测地线满足,主法线处处与曲面垂直(除非曲线没有主法线).
三维空间中表面积一定包含体积最大的闭合曲面是球面,可用压强和表面张力的平衡推得.
另一个例子是肥皂膜实验:科学家们为了研究极小曲面的问题,进行过肥皂膜实验.极小曲面就是说,有一个三维闭合曲线,求以之为边界的面积最小的曲面.数学家们把金属丝弯成要求的曲面的形状,然后浸入肥皂水,拿出来后得到一个以金属丝为边界的肥皂膜,肥皂膜就是那个要求的曲面.极小曲面比极小曲线要复杂,但仍有一个简洁的特征,似乎是曲率处处为0,当然这是表面张力平衡的客观要求.
以上基本都是静力学的例子.还有一些动力学的例子.最著名的应该是最小作用原理.这是分析力学的一个结论.它指出,在一个势场中,物体受力运动满足最小作用原理.我曾经试过用此原理推导过抛体运动.不过由于推倒要用变分法,比较麻烦,没有用它推倒过别的运动.下面是来自百度百科的资料:

式中L＝T－V为拉格朗日函数，T 为系统的动能，V为它的势函数。哈密顿原理可叙述为：拉格朗日函数从时刻t1到t2的时间积分的变分等于零。它指出，受理想约束的保守力学系统从时刻t1的某一位形转移到时刻t2的另一位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值，大多取极小值。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程。哈密顿原理不但数学形式紧凑，且适用范围广泛。如替换L的内容，就可扩充用于电动力学和相对论力学。此外，也可通过变分的近似算法，用哈密顿原理直接求解力学问题。
不仅仅是力学,自然科学中处处有这类的极值原理.如几何光学中的费马原理.历史上也有用这种自然中的极值原理来解决数学问题的例子,如最速降线问题,牛顿的方法借助了光的费马原理,实际上这是一类特殊的变分问题.
意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题──“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”。他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。
　 瑞士数学家约翰．伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题（problem of brachistochrone），征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线,。
　 旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。
　 数学家十分关注最速降线问题，大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论著，在1744年最先给了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新数学分支。
对建模的启发:悬链线:在两点之间悬挂一条柔软的均匀细绳,让之自由下垂求形状(双曲余弦函数就是该问题的解).悬链线可以用受力平衡来列微分方程求解,但也可以利用势能最小结合变分发求解.在这个问题中前者更简单,但是在有些问题,如膜的振动中,利用极值原理更方便.这为建模提供了新的思路.

“最小”与“守恒”是有区别的。守恒是不变，而最小却是在可变中寻找最佳，它们描述的是物理世界的2个方面：守恒原理描述的是体系整体性质所应该遵循的原理（能量，动量）。最小作用量原理描述的是体系中一个个个体的运动方式所遵循的原理（路径）。