趣题：求两圆柱相交部分的体积
Posted in Interesting Maths by Eagle Fantasy on March 22nd, 2009
昨天去图书馆看趣味数学大师马丁加德纳的小册子《意料之外的绞刑》，看到了这个趣题：求两圆柱相交部分的体积（两圆柱半径都为1）（正交）。要求是不用微积分，只用高中生就能看懂的简单数学。如果你难以想象那部分到底是个什么形状，下面这幅图可以帮帮你。
答案：
用竖直的平面去切这个相交部分，例如用平面y=-0.5，不难想象无论取的是y等于几的竖直平面，切得的部分都是正方形。如下图：
然后我们再想像有一个半径为1的球内切于两圆柱相交部分，用同样的竖直平面去截这个球，很明显截得的部分是圆，如下图：
想像一下：这个球是内切于两圆柱相交部分的，因此截得的这个圆恰好就内接于刚才截得的正方形！对于每一个竖直平面来说都是如此。每一个正方形的面积是其内接于圆的4/π倍，而把面积一层一层累加起来就是体积，所以两圆柱相交部分的体积就是其内接球体积的4/π倍。球的体积是4π/3，因此两圆柱相交部分的体积就是4π/3×4/π=16/3！
这个方法貌似和祖暅原理很像，不过提出这个方法的人可比祖暅年代要早得多：是阿基米德！不得不佩服古希腊人的智慧！
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March 22nd, 2009 at 9:53 pm
我问过你这个。。。而且是半径不等的情况
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Eagle Fantasy reply on March 23rd, 2009:
真假..你会了？？
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gnocuil reply on March 24th, 2009:
就是生积分 今年集训队作业 你可以看看
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March 23rd, 2009 at 10:05 am
阿基米德是天才啊
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March 23rd, 2009 at 5:22 pm
看到我的邮件了吗？关于服务器续租的
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Eagle Fantasy reply on March 23rd, 2009:
啊？没有啊？？要不麻烦您给我重新发一个？
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March 23rd, 2009 at 10:23 pm
好像是我RP太差了，你到spam里看看吧。
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March 23rd, 2009 at 11:17 pm
好题
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March 28th, 2009 at 4:49 pm
图片看不见~
我的空间想象能力不好~
不清楚诶，，，
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March 28th, 2009 at 4:58 pm
还有。。那个n是代表什么的？
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Eagle Fantasy reply on March 28th, 2009:
图片现在已经好了
那个不是n，是希腊字母Pi圆周率 字体问题…
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March 28th, 2009 at 5:19 pm
看懂了~~谢谢啊
看来你是一个很爱学习的孩子啊
O(∩_∩)O~
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May 24th, 2009 at 8:55 pm
这个不是二重积分么。同济高等数学第六版下册上的一道例题，不久前刚看过，记忆犹新，因为算不来。
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September 19th, 2009 at 5:33 pm
牟合方盖
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October 23rd, 2009 at 12:03 am
感觉在数学几何这方面越来越差了，差点看不明白，汗！
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November 24th, 2009 at 11:00 pm
我也很喜欢数学，物理，哲学。在我的blog力做个链接，免得以后找不到
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November 28th, 2009 at 2:19 pm
nice!
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