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September 15, 2009

31

直上九宵的指数方程

有一道很简单的小问题：求解方程

\Large x^{x^{x^x}}^{...}=2

这样的方程解起来是很简单的，因为最低下的x的指数是他本身，即它的指数是2，因此该方程等价于x^2=2，立刻解得x=√2。

但是，如果题目地形式稍微一变，变成这个样子：

\Large x^{x^{x^x}}^{...}=4

用同样的方法你将会得出同样的答案x=√2。

现在问题来了，既然如此，那么表达式

\Large \sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2}}}^{...}

到底等于几呢？2还是4？

这个数应该是等于2的。用一个很不严谨的方法来看一看：为了求出这个数的上界（这个词貌似用的不太合适），把这个数顶上的√2用更大的数2来替代，则整个表达式坍缩为2，所以结果是不可能大于2的。因此实际上第二个方程是无解的...

看来一旦涉及到了无穷，什么诡异的事情都有可能发生了。连这样基本的方法都能产生出曾根哎...

//好长时间不学无术了哎 为了不荒废这块土地更新一下...

//来自《最迷人的数学趣题》

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  • http://initiative.yo2.cn/ est

    > 因为最低下的x的指数是他本身

    这个错了吧？

  • http://blog.programet.cn/ 严酷的魔王

    又记得是在哪里看过的- -

  • http://li2z.cn bones7456

    “把这个数顶上的√2用更大的数2来替代，则整个表达式坍缩为2，所以结果是不可能大于2的。”

    这样的描述是有问题的，顶上根本就没有一个“√2”可以被替换掉，因为顶上还是“√2的√2循环次”，也就是仍然是x，如果假设这个x=4,你替换成2,显然是把这个x变小了，所以变成2并不为怪。
    也就是说光这样并不能说明x不可能大于2。

  • sss正和

    函数y=x^x^x^...当x在(0, e^1/e)时上界为e，但当x=e^(1/e)时y突然变成无穷大了。
    因为x=e^(1/e)时，x^x^x^...=(e^(1/e))^(e^(1/e))^(e^(1/e))^(e^(1/e))^...=e^e^(1+e^(1+e^(1+e^...........)))
    令e^(1+e^(1+e^(1+e^...........)))=y，自相似代换得e^(1+y)=y，无解，即x^x^x^...为无穷大。

    所以y=x^x^x^..=4>=e无解，强行做自相似代换y=x^y也只得到增根。

  • http://yegle.net yegle

    x怎么会大于1呢？
    f(x)>f(x)^x，在x>1时

  • http://starforever.blog.hexun.com/ 北极天南星

    为什么会坍缩为2呢？

  • sss正和

    上帖犯了一个低级错误，更正如下：
    x^x^x^...=c的自相似代换是x^c=c，即x=c^(1/c)，在c=e时x取得极值e^(1/e)。
    于是x>e^(1/e)时x^x^x^...的值为无穷大。因为x=e^(1/e)+ε=e^e^(δ-1)时，
    x^x^x^...=(e^e^(δ-1))^(e^e^(δ-1))^(e^e^(δ-1))^...=e^e^(δ-1+e^(δ-1+e^(δ-1+e^...........)))
    令e^(δ-1+e^(δ-1+e^(δ-1+e^...........)))=z，自相似代换得e^(δ-1+z)=z，当δ>0时无解（或者说解为无穷大），即x>e^(1/e)时x^x^x^...为无穷大。

    函数y=x^x^x^...当x在(0, e^1/e]时上界为e，但当x>e^(1/e)时y突然变成无穷大了。
    所以x^x^x^..=4>e无解，强行做自相似代换也只得到增根。

  • sss正和

    你应当把x^x^x^…看成x,x^x,x^x^x,...这样一个数例的极限。然后自己用excel试算一下，x1,c>1时，可以有x^c<=c这才是关键，保证数列通项可以有上限。

  • sss正和

    x1应是x>1

  • http://www.followstars.cn 星光居士

    总觉得第二个方程的解有问题。

  • http://www.eaglefantasy.cn Eagle Fantasy

    这里没有什么问题啊 最低下的x的指数和他本身形式是一模一样的

  • http://www.eaglefantasy.cn Eagle Fantasy

    对 你这个解释严谨的正解..只不过这样表述比较繁琐...

  • http://www.eaglefantasy.cn Eagle Fantasy

    我那么说确实有些不严谨哎 不过是最简单的理解方式...

  • http://www.eaglefantasy.cn Eagle Fantasy

    因为√2的2次方还是2..不断的算下来最后还是2

  • http://www.eaglefantasy.cn Eagle Fantasy

    就是有问题..它应该是无解的...

  • http://hi.baidu.com/zyzyzhangyuan zyzyzhangyuan

    既然同一个式子可以有不同的值，岂不是说这个式子不收敛？如果不收敛，讨论这个问题就没有意义。

    一个例子是，y=1/x,当x=0的时候就没有意义，因为不收敛，当然它也可以有两个值……

    这种无穷项的叠代的方法都是逻辑不严谨的方法，都应该是有前提的，都是要求收敛甚至有的要求绝对收敛的。

    √2上有1个√2是1.6几，两个就是2，4个就是4啊。这样会不断的变大的，而且速度很快，肯定趋于无穷大的。

  • pia

    这个悖论产生的原因源自于做法......
    我们这里设a1=x
    a(n+1)=x^an

    而这种做法只用了递推公式
    并未用到初始条件

    例如上面的悖论，若初始条件2<a1<4就会得到极限为4，其余当大于4时，则会去想无穷大

    所以只是初始条件的问题.......

  • http://www.eaglefantasy.cn Eagle Fantasy

    你用计算器稍微验证一下就可以知道 这个确实是收敛的 极限确实是2

  • http://www.eaglefantasy.cn Eagle Fantasy

    按照那个式子 a1应该是√2的
    这个问题有意思的地方在于 如果是让我单独解第二个方程 我肯定解出来x=√2就觉得解对了完事儿了...

  • pia

    所以很无奈的
    第一个式子即使算出来解也不能算对

    必须代回去重新证明......

    而且证明貌似也挺麻烦的......

  • jcvb

    用程序算一下 答案是2
    第2个方程好像无解吧。。

  • kights

    可以把第一个式子（那么多个√2）设为n
    因为式子里有无数个√2
    那么在式子下面再加一个√2也不会影响原式结果
    所以有(√2)^n=n
    显然 n=2

  • kights

    不知道这样是否合理？

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    换域名啦。来看看

  • choniong

    对于方程x^x^x^...=m似乎只有当m在[1/e,e]上时才存在唯一的x使方程成立，而当m在(0,1/e)上时用原帖的方法解得x后，x^x^x^...的值会根据x的个数的奇偶性在2个不同的极限间跳动。
    不知道我做的对不对？

  • napolen

    为何我就没有学过这种求解方法呢，看了半天还是没懂。。

  • http://zforzelda.wordpress.com JimmyZ

    "因为最低下的x的指数是他本身", 什么叫"他本身"? 会歧义好不好, "方程左项"不会说是吧?

    "把这个数顶上的√2用更大的数2来替代", 注意, 无穷, 无穷是什么懂不懂? "顶上"永远是方程左项, 先假设了方程左项不会超过2, 然后推出方程左项不会超过2, 真有追求...

    用初等代数玩级数, 这是玩给初中生看的吧, 现在高中都学级数了

  • Smallpigkang

    这个问题提得不太好，因为这个极限没给确切定义
    不过如果把这个式子看作是幂函数的迭代Xn+1=Xn^Sqr(2) [X1=Sqr(2)]的话,那答案是2,不会在4处收敛
    详情参见迭代的几个定理

  • Smallpigkang

    只要f(x)在某区间上有一个不动点且f'(x)绝对值恒小于一，那么随便取这个区间上的值开始迭代，极限必定是这个不动点的。这样这个不动点只可能是2

  • fenix

    我发现这道题应该是这样的：

    第一题，两边取自然对数，2lnx=ln2，x=sqrt(2)
    第二题，两边取自然对数，4lnx=ln4，x=sqrt(2)，这两个解答的相同完全出于巧合的

    第三题，设该表达式的值为x，那么同样两边取对数，xln(sqrt2)=lnx，整理得x/2=lnx/ln2，非常明显有两个解，分别是x=2和x=4。
    实际上也就是等于求y=x/2和y=lnx/ln2的交点。作图也可以发现实际上的交点有两个，x值分别是2和4。

    那么为什么大家都认为这个式子收敛在2呢，因为大家理所当然地选择了初值点是2，例如楼主用2代替指数部分，表达式的值就塌缩到2了。然而没有注意到如果用4代替指数部分，那么表达式的值就会塌缩到4。也就是说这个表达式的值存在两个稳定点。而第二题楼主的解答是没有问题的。

    至于为什么同一个表达式能够存在两个值，这个我也觉得很奇妙。我也是第一次见到形如“x=#####”的居然存在两个解……

  • 负一的平方根

    -√2为什么舍去了？