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April 7, 2010

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椅子的稳定性问题

4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，问是否一定可以找到一个位置使得四条腿同时着地而放稳？

这个问题我在初中的时候就听赵一夫跟我说起过，当时觉得这问题太诡异了，怎么下手啊。今天再一次见到仍然觉得无从下手，看了答案之后顿觉奇妙。答案是肯定的，一定可以找到一个位置使得椅子放稳！

题目的条件先解释一下，4条腿长度相等实际上告诉了我们这4条腿的顶点是共面的。看了网友的回复，确实题目里有隐含条件需要明确地写出来：（1）椅子是正方形的...（2）四条腿的长度相对于地面的起伏来说足够长...(3)只要四条腿同时着地就称之为放稳（即认为地面的摩擦系数无穷大）...（4）起伏不平的地面我们要把它理解成是一个连续的二元函数。

设这4条腿的顶点分别为ABCD。

我们知道，三个点确定一个平面，因此任何位置总有三条腿着地。先把椅子放在某处，现在将椅子的中心固定，将AC和BD这两把对腿从初始位置逆时针旋转角度θ。设AC这对腿到地面距离之和为f(θ)，记BD这对腿到地面距离之和为g(θ)，由定义可知f(θ)>=0，g(θ)>=0。又由于在任何位置至少有3条腿同时着地，故f(θ)和g(θ)之一必为0。我们需要证明的是，至少有一个θ0使得f(θ0)=g(θ0)=0。

不妨设f(0)>0，g(0)=0，定义函数h(θ)=f(θ)-g(θ)，0<=θ<=π/2。h(θ)是θ的连续函数，且h(0)>0。显然，当θ=π/2时，AC和BD这两对腿恰好互换了位置，因此必有g(π/2)>0，f(π/2)=0，因此有h(π/2)<0。

由连续函数介值定理可知，必有0到π/2之间的一个θ0使得h(π/2)=0。此时必有f(θ0)=g(θ0)=0，这时椅子能够放稳。

没有想到这个问题居然可以用看似没什么用的连续函数介值定理来证明，实在是高明～！

题目来源：周义仓、赫孝良 编著《数学建模实验》

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  • http://blog.yelpoo.info/ bobye

    为什么任何位置至少有3条腿同时着地?
    不太清楚椅子的中心是怎么固定的？如果是一根可以上下滑动的转轴，貌似不能保证始终有3条腿着地吧。

  • lich

    lz:
    h(θ)不是一个连续函数，因为在水泥地上你不一定能转的动，换句话说：确实存在这样一个点使h(θ）=0，但是此时腿到地面距离可能是负值，与你的假设相矛盾。
    为什么我实际感觉是不一定能找到这样的点

  • KonW

    前提,椅子的那四条腿只要是四条,不论位置(其实一般来说是长方形或者正方形)

  • http://blog.programet.org 严酷的魔王

    数学建模的经典例题

  • Ben.W

    确实巧妙。数学上没有问题，物理上倒有些问题，因为椅子的四条腿都着地并不代表放稳，这跟椅子腿与地面接触点的摩擦力以及椅子的重量有关……

  • pia

    这个解法没什么问题,不过感觉题目默认了很多东西

    1.四条腿的顶点呈正方形或矩形.......
    2.四条腿无限长......
    3.只要椅子面和水平面平行且四腿着地就称为放稳......
    4.地面不存在陡壁......

    好像还有很多，反正.......

    至于函数介值性定理，好像在M67的博客里看过一篇相关的应用，这么重要的定理大牛你怎么能说它似乎没什么用......

  • http://www.eaglefantasy.cn Eagle Fantasy

    椅子还可以绕中心点做定点转动

  • http://www.eaglefantasy.cn Eagle Fantasy

    对于不学数学分析学高等数学的我 基本上看不到介值定理有啥用..看到的极少数应用都是相当奇妙的用法...

  • http://www.eaglefantasy.cn Eagle Fantasy

    这个题条件里默认了四条腿着地就代表放稳了...其实就是认为摩擦系数无穷大

  • http://www.eaglefantasy.cn Eagle Fantasy

    忘了说了 椅子是正方形的

  • http://www.eaglefantasy.cn Eagle Fantasy

    没看明白 什么叫做水泥地上不一定能转的动？这里不考虑物理内容 只考虑数学。

  • http://www.eaglefantasy.cn Eagle Fantasy

    由于这是数学建模问题，所以题目有隐含东西需要自己提出来假设是合理的...但是我忘了说了 现在加上了...

  • lich

    例如地上有三个深度相同的洞和一个更深的洞，椅子的脚刚好能放进去，但是转不动。
    如果你强行转动一个θ角度（此时只能升高椅子的纵坐标），再转回去时，g(0)不等于0 了，而是等于一个升高的高度h,此时使用介质定理，h(θ)也不再等于0，而是等于h.也就是说不再一定存在一个让h(θ)等于0的点，而是一定存在一个让h(θ)等于h的点，此时f(θ)-g(θ)=h,而不是等于0，f(θ)不等于g(θ)，椅子不一定能放稳。

  • RedNax

    考虑许久觉得这应该还是错误的。

    注意无论怎么旋转一定要有三只脚落在曲面上！
    问题出在f(θ)和g(θ)上。所有结论基于这样一个假设：f(θ)和g(θ)是连续的。但这个假设是错误的。为什么呢？
    因为有f(0)>0,g(0)=0 ,且 f(π/2)=0, g(π/2)>0。
    我们来考虑一下是怎么旋转的。假设四个脚ABCD中一开始是ABC接触曲面（D不在曲面上），那么最后接触曲面的一定是BCD（A不在曲面上）。因为如果最后还是ABC接触曲面，则条件仍是f(0)>0,g(0)=0 ， 这样就无法应用介值定理了。
    所以最终必须变成BCD接触曲面。也就是说在转动过程中有那么一个位置θ0，使得f(θ0)=0且g(θ0)=0, 在此位置之后f(θ)开始等于0，g(θ)开始大于0。如果不存在此位置则f(θ)和g(θ)就不可能连续！
    但是……此位置就是我们要证明存在的角度θ0……显然用推论来作为假设条件是没有意义的，也就是说无法证明f(θ)和g(θ）的连续性……

    所以这个推论是错误的——至少在证明f(θ)和g(θ)的连续性之前……

  • lich

    抱歉，我想错了。

  • pia

    大牛，高数已经不能满足你了，去看数分吧......
    据说北大的数分好像编的很不错......
    虽然没看过......

  • http://www.gyfgcl.com 夜光粉

    还不错，学习了，顺便分享了，嘿嘿。

  • http://www.haotingya.com 音乐分享

    这里不错，头一次来留言

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    试着在这个Theme下留言看看~

  • Athera

    晕。。这个不是最基础的数学建模例题么，好像没什么好讨论的必要吧。。

  • http://None QQ903806024

    怎么确定连续函数？万一有“悬崖”的地方呢？

  • Anonymous

    魏尔斯特拉斯函数是处处连续但处处不可微的曲线，在二维曲面是否有类似的情况？若有，椅子的稳定性问题在这种曲面上有如何呢？

  • Anonymous

    魏尔斯特拉斯函数是处处连续但处处不可微的曲线，在二维曲面是否有类似的情况？若有，椅子的稳定性问题在这种曲面上又如何呢？