迭代法求平方根

很久以前看过求平方根的这么一个方法，是用的迭代，按下面这个公式进行迭代即可求出a的平方根：
X_n=(X_n-1+a/X_n-1)/2 (n>0)
其中X₀可以随便取一个数。当X_n-X_n-1满足精度要求时，即可输出X_n作为答案。

很长时间以来都想不明白，为什么通过这样的迭代会算出平方根。上网查他的原理也没查到。最近在《边缘奇迹——相变与临界》上看到了重正化群中类似的东西，我恍然大悟，想到了怎样来理解。
我们画出y=(x+a/x)/2的图像，再在同一坐标系内画出y=x。如下图（a=2）：

随便取一个X₀，做竖直直线，找到他与y=(x+a/x)/2的交点，交点的纵坐标即为X₁。再过交点做水平直线，找到与y=x的交点，其横坐标即X₁。再过交点做竖直线，找到他与y=(x+a/x)/2的交点，交点纵坐标即为X₂。再过交点做水平直线，找到与y=x的交点，其横坐标即X₂……不停地做下去，通过图就可以看出交点逐渐逼近两条函数曲线的交点，即点（√2，√2）。
一般的a也是一样，最终逼近于（√a，√a）。

不过，我还是不知道这个迭代式是怎么找到的，我尝试过写出求三次方根的迭代式，结果无功而返。
上面的均属个人见解，如有错误请指出。