一个超级赖皮的数学证明方法——例证法
Posted in Interesting Maths by Eagle Fantasy on August 24th, 2007
今天看到《数学家的眼光》（张景中著）写到了一个巨赖皮的数学证明方法，叫例证法，看完我都惊得不行了，就写到这里来和大家分享一下。
为了说明例证法，我们举一个简单的例子。试证明：(x+1)(x-1)=x^2-1。我们假设我们不会做（这不是在贬低你的智商阿）。现在我就讲一个所有人都肯定能学会的方法，用例证法来证明！
证明：令x=1代入原式，发现等式成立。
令x=2代入原式，发现等式成立。
令x=3代入原式，发现等式成立。
所以原式恒成立。
你看了可能会狂笑不止，有种想揍我的冲动，这什么东西，举了3个例子就说证明了原式？证明等式成立可必须是所有x都满足才行啊！可是，且慢，我可以告诉你，这样证明是严谨的。不信就听我仔细分析。分析一下原等式，发现x的最高次是2次。根据代数基本定理，这个式子如果不是恒等式就有两个根。现在我们举了3个例子，即便前两个正好就是两个根，那么第三个数代进去又成立了，就说明原式是恒等式了！
其实，只要代一个数也可以，要保证这个数不是原方程的根就可以了，这个数应该足够大，例如上题取x=10就行。至于“足够大”的条件，还是挺麻烦的。
怎么样，这个例证法神奇吧！
我们还可以把它推广，如果有多个未知数，例如想要证明(x^2+y)(x^2-y)=x^4-y^2，我们只要把x附5个值，y 附3个值，一共代15组数进去验证就可以了。这个题也可以取一组数进行验证，(10,10000)就行。
据说，我国一个数学家甚至把例证法推广，利用解析几何把普通几何题转变为类似的代数问题，就可以用例证法来证明了！
不知道，如果我在高考的时候用这么个方法，老师会给我几分？呵呵。
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January 8th, 2008 at 12:39 pm
从阅微堂进你的Blog，简直叹为观止
一个高中生？
PS：八百年前我高考，物理出其地烂，从此仰慕所有物理精英
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April 25th, 2008 at 1:44 pm
你的文章让我惊叹，特别上看到用基础微积分推导欧拉方程的时候（最小作用量原理4）
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Eagle_Fantasy reply on April 26th, 2008:
谢谢夸奖！
不过那段推倒主要是来自《费恩曼物理学讲义》，不是完全我自己推的
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April 29th, 2008 at 8:18 am
(x+1)(x-1)=x^2-1是恒等式
那么任何一个数都是这个方程的根
怎么可能找到不是这个方程根的数？
只要代一个数也可以，要保证这个数不是原方程的根就可以了，。。。这个说法好像有问题！
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Eagle_Fantasy reply on April 30th, 2008:
貌似是有点问题，我还以为只有不是恒等式的方程解出来的东西才叫根…能明白我的意思就行，我也找不出更好的说法…
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May 13th, 2008 at 1:25 pm
这种证明方法还是第一次听呢…
很变态的证明啊….
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May 28th, 2008 at 4:33 pm
我想例证法的潜力在于容易引入到“机器证明”中吧。 而张景中院士好像也是研究机器证明的。
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August 24th, 2008 at 12:31 pm
很奇妙的证明。
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December 31st, 2008 at 1:31 pm
问题是，代数基本定理并不是很初等的定理
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January 1st, 2009 at 8:40 pm
怎么证不等式嘞？
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