一个关于级数的疑问
大家应该很熟悉ln2的级数展开吧：
ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+……①
把①两边每一项乘以1/2得到：
1/2*ln2= 1/2 -1/4 +1/6 -1/8+……②
上面②的数字间距比较大仅仅是为了与①的相关数字对齐。把①②相加，按照纵列结合各项，于是我们得到
3/2*ln2=1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+……③
我们惊奇地发现，③的右边仅仅通过顺序的变换就可以得到①的右边，但左边却确确实实的不相等！难道无穷级数不支持交换顺序的运算？
有的人马上举出1-1+1-1+1-1+……这个著名发散级数跟我说无穷级数肯定不能交换顺序，可是一定要明确①和③两边是收敛的阿！收敛就决定了这不是个太小儿科的问题。
到底是从①变到③的某个过程不被允许，还是连收敛级数也真的不能交换顺序？我期待有谁能给我个令我信服的答案。
update:最近看了一些书和文章似乎对此问题有些明白了，感谢网友们的帮助！
本来就不能这样做吧。
记得看到过一个花体的X，右上角标了个0，表示实数的个数。 虽然很显然这个数不存在，但是我看过一本书上，把这个符号当成一个数来用了，
按照那个说法，(1)的右边有X0项，把(1)*2，右边只能有X0项，但是在相加的时候，(2)中只有1项就把(1)的对应2项匹配了，所以说，对于(1)来说，(2)的右边是X0/2项
怎么说呢，感觉上，我反正是不明白
看不懂...无穷多个数，应该还适合普通有限个数不同吧...
两个式子都是对的
收敛级数显然也不满足交换律，因为两个式子以相同速度趋于无穷多项
有限个无穷小之和
等
于无穷小．
[quote=matrix67]两个式子都是对的
收敛级数显然也不满足交换律，因为两个式子以相同速度趋于无穷多项[/quote]
能不能...说的详细一点...后面那句话是为什么...
Pingback: Matrix67: My Blog » Blog Archive » 两个与无穷级数有关的悖论
那个字母读作“阿列夫”，是一个希伯来字母。
不标零的话表示实数集的基数
标零的话表示自然数集的基数
要满足加法交换律，仅有收敛是不够的
要绝对收敛才行
事实上，如果一个级数收敛但非绝对收敛（称为条件收敛），那么通过改变顺序可以收敛到任意实数（也可以是正负无穷大）
最近看了微积分中关于绝对收敛的部分，现在似乎对这个问题有些明白了
把n项的通式写出来，就会发现缺了一些。
说两发散级数之间不可逐项相加是非常无知的
张宗达主编《工科数学分析(第3版)(下册)》165页:两发散级数逐项相加(减)的级数不一定发散,例如-1+1-1+1-...与1-1+1-1+...都发散,但两者逐项相加得∑（-1+1）=∑0却是收敛的.(高等教育出版社，2008年。)
可见说两发散级数之间不可逐项相加(减)是非常无知的.
可见任何发散级数∑an的各项an都+(-an)就得∑(an-an)=0。
应试教育和"尽信书"会使人丧失正常的思维能力。例如小学生都知道各项都是a的P=a+a+a+...的各项都-a就得p-p=0啊！然而有不少人却不是以活生生的事实为准而是以死的书本为准而否认此事实。"顶峰"论与“科学终结”论扼杀科学的飞跃发展。李佰民译《托马斯大学微积分》456页：∑an=1+1+1+...和∑bn=-1-1-1- ...同时发散，然而∑（an+bn）=0+0+0+...=0。（机械工业出版社，2009.3）注！必须证明∑an的项与∑bn的项能一一配对才能得此论断。
极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了
——中学重大错误：将两异集误为同一集
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]编序号常识使“潜藏”5千年且被标准分析否定的无穷大自然数及其倒数一下子露出原形，同时使统治数学的集论露出百年病魔原形。“有胡子的，不一定是爹。”2，3，...，n+1，...不一定是自然数列N的一部分。自识自然数5千年来一直无人识破此真相就有中学重大错误：搞错了y=n±1等函数的值域而将两异集误为同一集。
[关键词]标准及非标准无穷大自然数；假自然数集；自然数公理；集论；函数的值域；可数无限集的定义；推翻
化学曾被错误的燃素说统治百年。无独有偶，[1][2] [3]揭示数学也被极荒唐的集论统治百年。
一、存在奇数与偶数不一样多的是假自然数集
如[1][2]所述，非0自然数列（1，2）（3，4）...=N的奇数与偶数能一一配对而无一“单身”，而其各项都由n变为y=n+1后再增添新首项1得：1（2，3）（4，5）…= N′中的1就只能“单身”，除非拆散某“夫妻”，即其奇数与偶数不一样多！故N′是似是而非的假N！而且关系式y=n+1>n=1，2，…（数列N）也一目了然地表达y=n+1必可>数列N的一切数n——意味相应y=2，3，…中有超自然数y>N的一切n！由认识自然数到发现此推翻百年自然数公理的N′竟须历时5千年！
同样，N各项都由n变为n-1后再去掉首项0得1（2，3）（4，5）...中的1就只能“单身”，故其≠N！正整变数n>n-1=0，1，2，…也一目了然地表达n必可>数列L的一切数n-1——意味n=1，2，…中有自然数n>L的一切n-1！故L并非自然数列！
{1，2，3，…}=N′
{1，2，3，…}=N
自识自然数5千年来一直无人识破此｛n｝≠彼｛n｝就使人不知百年自然数公理“N的各元n都有后继 n+1∈N”是一种错觉。从而使康脱…。以上拨开5千年迷雾地说明“N′=N”是自识自然数多得写不完5千年来一直无人识破的似是而非的假象——使康脱脱离健康误入百年歧途：据N各元n的斜上方都有n+1∈N′而断定…，使人们坚信：谁说推翻了百年自然数公理和集论谁就是想出名想到疯了！
两不交且非空的集U、V的并记为U+V。给U增一元得U的真扩集U+｛a｝=H就比U多了个U所没有的数a——不论U是否无穷集。由存在上述“单身”元的原因得
h定理1（真扩集定理）：无穷集F～G的真扩集F+D=K必不～G而至少比G～F多含一元.
证：K=F+D的一部分F～G的元（阳）与G的元（阴）一一阴阳配对就将G的元都配光了，K还剩下D的各元都只能“单身”而无“妻”∈G，除非拆散已配对的相应多对“夫妻”；表明K至少比G～F多含一元。证毕。
二、太浅显编序号常识证实太惊人真相：此1，2，…，n，…之外还有名亡实存的无穷大自然数
王元、万哲先等译《数学——它的内容，方法和意
义（3）》8页：若集合A的元素可以用全体自然数来标记：元1，元2，...，元n，...（所有标记数n组成自然数列1，2，3，...=N——黄小宁注）则A 是可数无限集。（此书将0排除在N外，本节遵从此约定。）对此定义要抓住3要点：①A的元都可以配上自然数号码。②必须用完一切自然数。③A～N表示用N的一切数将A的元都配上自然数号码。 A不～N有2种情形:⒈ N不够用而不可将A各元都配上…。⒉N用不完即仅用部分自然数就能将A各元都配上…。上节揭示“各元可排为一无穷序列的集就是可数无限集”是错误的定义。
显然用自然数n标记U～N的各元就无一遗漏地用光一切自然数了，否则U的元与N的元就不一样多了。否认此事实者，反映其连U～N 的含义都还未弄懂。故H= U+｛a｝中的a已没有自然数为其标记而须用别的数如超自然数来标记，即H是不可数集——其元不可都用自然数来标记，原因是N不够用。“拆东墙补西墙”地重新编号不能改变N不够用的事实。且据h定理1 U不可～U+｛a｝。
据h定理1，F+D（F～N）必不～N（N不够用）；可数
无限集M的任何一部分E～E都不～E的真扩集M（仅用一
部分自然数就能将E的各元都配上自然数号码）。
例如将N的偶数都编上自然数号码：2=2号数，…，
2n=2n号数，极显然：N的奇数都没有用到。重新编号: 2n=n
号数，所有编号数n=1，2，3，…组成V。极显然：因N是可数集,故还可将N的奇数都编上自然数号码：1=m号数，3=m+1号数，…，显然m只能是V外自然数>V的一切n！这证明V只是N的一部分！将部分误为全部就出现违反语文常识的病态认识：“部分可=全部”。说对N的偶数都编上…就用光一切自然数了，显然是与①②③相矛盾的。其实只是用光V的一切自然数罢了。
“大道至简至易。”关键：各2n∈N都有编号数n∈VÌN的同时各2n-1∈N也都有编号数∈WÌN，显然V+W=N，W的各数都在V外！——53字符使“潜藏”5千多年且被标准分析否定的无穷大自然数及其倒数一下子露出原形，同时显示“N的真子集可～N”是百年重大误解。
反复强调:据①②③将无穷集EÌM～N各元都配上自然数1,2,…(数列A)后, M-E各元也都必配有数列A外的自然数t，t+1，….故数列A并非自然数列！
故如[1][2]所述若N的一切n都有对应2n>n则并非所有的2n都∈N而必有部分2n是超自然数>N的一切n。
故定义域为N的y=2n>n的值域Z～N不是N的真子集，
中学数学误以为NÉZ是搞错y的变域的重大错误。
显然相应有各项都可用自然数来标记的可数级数(项
1+项2)+(项3+项4)+…，其各项可一一配对而无一“单身”。奇数项为-1偶数项为1的发散可数级数s=（-1+1）+（-1+1）+...=0的唯一原因是和式中的1与-1一样多。s是否=0完全取决于其是否“一样多”，而去掉式中的括号对“一样多”没有任何影响。形成鲜明对比的是s增添新首项1得1+s=1+∑（-1+1）=1就打破了各项可一一配对的格局：其首项1只能“单身”，即其奇数项与偶数项不一样多！从而使其正数项与负数项不可一一抵消为0。这1+s显然是非可数级数！注！1+∑（-1+1）的各项不可一一配对，故其不可加括号为∑（1-1）。…。
可见，可数无限数列（级数）增奇数个项后就成为非可数无限数列（级数）了。显然相应有
h定理2：其奇数号元与偶数号元不可一一配对的“可数无限集”是似是而非的假可数集。
1+1+∑（1-1）=2缘于其所有1组成{1}的项多于所有-1组成{-1}的项。故此｛n｝的项可多于彼｛n｝的项。
三、结束语
标准分析之前的几千年数学求圆周长须先将圆无穷多等分再…的过程就是在使用一直在数学中起举足轻重作用的无穷数，否定它只是近百多年来的事，以上表明这是百年重大寃案。否定无理数的数学自相矛盾，否定无穷数的数学也必自相矛盾，从而极难学难教。
“1908年著名数学和物理学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：下一代人将把集论当作一种疾病且人们已经从中恢复过来了。注意到这是集论问世30年后的预言，故有非凡科学洞察力的庞大师是对集论起码思考研究了20年才慎重作出此经深思熟虑的天才预言的。在一片叫好声中，智慧超群的天才大师超越时代地清醒坚信：凡不合实际违反真正物理常识的理论必是危害科学的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认的“真理”的回天力[3]。”
参考文献
[1]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0 ——再论形如{1，2，3，...，n，...}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
[2]黄小宁，百年集论确是"疾病"之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
[3]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形
——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009年8月下半期:267.
电联:13178840497
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）
完备的级数论凸显否定无穷数是百年重大寃案
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
一、据最起码科学常识C，无穷和h=1+1+1+…是无穷大数
奇数项为1偶数项为-1的发散级数s=（1-1）+（1-1）+... =0的唯一原因是和式中的1与-1一样多。s是否=0完全取决于其是否“一样多”而与某极限是否存在没有任何关系，而去掉式中的括号对“一样多”没有任何影响。削足适履地说s的各项均=0，是常人也能识破的“掉包计”。
若{an}的项与{bn}的项一样多则两数列可合并为{（an，bn）}的所有项的和∑（an+bn）=0——当bn=-an时，不论其是否发散（bn是第2n项，an是第2n-1项）。
可见由级数概念知∑（an+bn）就是表示由两不论其是否发散的级数∑an、∑bn逐项相加而成的级数。
极显然的客观事实C：若级数的每一项都只有一个它的相反数项同在和式中与之对应（此项与彼项对应就不可与别的项对应了），则和式不论是否发散、不论如何改变运算次序都必=0。
应试教育和“尽信书”会使人丧失正常的思维能力。例如小学生都知道∑a=a+a+a+...的各项都-a就得∑a -∑a =0啊！然而有不少人却不是以活生生的事实为准而是以死的书本为准而否认此事实。“顶峰论”与“科学终结”论扼杀科学的飞跃发展。
没有（合格的）文献说两发散级数不可逐项相加。恰恰相反，张宗达主编《工科数学分析(第3版)(下册)》165页:两发散级数逐项相加(减)的级数不一定发散,例如-1+1-1+1-...与1-1+1-1+...都发散,但两者逐项相加得∑（-1+1）=∑0却是收敛的.(高等教育出版社，2008年。)。李佰民译《托马斯大学微积分》456页：∑an=1+1+1+…和∑bn =-1-1-1-…同时发散，然而∑（an+bn）=0+0+0+…=0。（机械工业出版社，2009.3）
又例如[1]书79页：若∑un和∑vn都发散，问级数∑（un+vn）是否一定发散？
以上表明显然相应有
h定理：若∑un的项和∑vn 的项可一一配对：un←→ vn则两级数可逐项相加得∑（un+vn），故∑（un+vn）必=相应的∑un+∑vn 。
以上表明据h定理∑an -∑an=0。因为无意义的符号是没有减法运算的，故此等式表明各级数∑an都是数！[2]文第7节：在数学中若a不是数而是无意义的符号，就不可有a-a=0——据此最起码科学常识C，无穷和h=1+1+1+…与同样多个-1的和j=-h的代数和h-h=0=（h+j）=0显示h与j都是数！可见有无穷多个1的和的无穷大自然数h！显然级数ch（c是相应的数>1）也是数>h，相应的级数h+1>h及h/2V的一切n！这证明V只是N的一部分！将部分误为全部就出现违反语文常识的病态认识：“部分可=全部”。说对N的偶数都编上…就用光一切自然数了，显然是与①②③相矛盾的。其实只是用光V的一切自然数罢了。关键是据①②③无论如何编号都必能保证可数集的每一元都必能配上一z号码。
反复强调:据①②③将无穷集EÌM～N各元分别都配上自然数1,2,…(数列A)的同时, M-E各元也都必配有数列A外的自然数t，t+1，…。故数列A并非自然数列！
[2]文第1节：“本文第六节揭示标准分析从前门拒绝了无穷数从而‘化解了无穷小危机’，然而又从后门‘神不知、鬼不觉地溜进’了明否暗用的起决定性作用的无穷小正数＜ε，这是其与非标准分析等价的原因。拨乱反正地明用无穷数后微积分就易学易教了。....这种借助有穷数之外的无穷小数（其倒数是无穷大数）求有穷数的思想方法是实践远远走在理论前面的对无穷数只有感性认识的非常直观明了的200年无穷小分析（相应的分析力学中有起决定性作用的无穷小数位移概念）的思想精髓、根本大法；本文揭示否定此精髓的百年标准分析自相矛盾，从而极难学难教。”
数学史表明没有无穷数就没有高等数学。标准分析之前的几千年数学一直承认与使用无穷数，只不过后来出现了无穷小危机才使这类起决定性作用的数名亡实存罢了。以上表明这是百年重大寃案。最起码科学常识C表明丢掉无穷数与丢掉无理数一样都使数学自相矛盾。
参考文献
[1]孙丽华、张魁元主编，工科数学基础（第2版）上册[M]，高等教育出版社，2004.12.
[2]黄小宁,50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）：46。
[3]黄小宁，极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2009（26）。
[4]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0 ——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
很简单的问题....只有绝对收敛才能随意交换
显然那个经典的级数是条件收敛的....不是绝对收敛哦~~
我轻轻地来了，留了个脚印！
那要分条件收敛和绝对收敛了，绝对收敛是可以任意改变顺序的，但条件收敛则不可以。