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June 11, 2007

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物理学中的近似——关于无穷小量的计算（基础但很重要）

突然发现好长时间没写物理方面的东西了，今天就写写基础的东西吧。关于无穷小量的计算，不知高考考不考，反正竞赛中时极为重要的。这些东西很简单，真得简单得不得了，可是我却是在不断跌打碰壁中自己摸索出来的，走了大段弯路，现在总结出来供大家分享吧。

首先要明确的是，两个无穷小量相除，不等同于0除以0而没有意义，相反，在大量计算中会出现类似的情况，他的结果通常是一个不是无穷大的数。例如，在匀速直线运动中，取一段极小的时间t，Δt→0。在这段时间内位移是Δx，而Δx/Δt=v就是其速度，有着实实在在的意义，有着具体的数值。

有一个重要规则叫做略去高阶无穷小。如果一个项是两个或两个以上的无穷小的乘积，那么这个项相对于其中一个无穷小就是高阶的。例如，Δx2就是比Δx更高阶的无穷小。在一个没有分母的和的形式的多项式中，我们可以略去其中最高阶的无穷小，而不能把全部无穷小给略去，否则就会出现错误。例如，(x+2Δx)2=x2+4xΔx+4(Δx)2= x2+4xΔx。

再讲讲一些近似处理。在物理计算中，如果遇到了sinθ而θ又趋近于0，那么有如下等式成立：sinθ=tanθ=θ（θ要用弧度表示）。这个式子的精确度是很高的，可以验证一下：sin1°=0.017452406；tan1°=0.017455064；1°=0.017453292。1°精确到小数点后5位都是正确的，况且θ→0。而且物理本身就存在大量近似，连最最精确的量子电动力学都仅仅能保证6位数字的正确性，所以这个等式可以放心应用。在一些计算中，如果出现了两个或两个以上的类似无穷小量，就不能直接令他们等于0来处理，否则误差会很大，必须经过一些类似sinθ=tanθ=θ的变换消掉无穷小量才行。例如，(s*sinθ+s*tanθ)/(r*θ)其中θ→0，这个式子，可以经过近似变换得到结果：2s/R。

在处理一些几何关系时，对无穷小量也需要特别关注。例如在用微元法解题的过程中，如果一个直角三角形的一个角是无穷小的，那么可以认为这个角的临边和斜边长度相等；如果一段弧的圆心角是无穷小量，那么可以认为这段弧和其所对的弦长度相等。这是些很实用的技巧，竞赛题特别是运动学中很常见。要注意，必须是直角三角形才能使用此结论，如果是一般三角形，必须先做一个垂直才能用类似的结论。

都是些很简单的东西，希望对大家给大家带来些收获！

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    一、极限论极难学的真因：常人拒绝思想混乱的理论
    黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
    “数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的，而非由那些长于做出严格证明的人们[1]。” 有超常直觉的莱布尼茨运用<任何有穷正数的无穷小正数，建立了微积分。但缺乏超常直觉的后来者错误地认为使用无穷数是非法的，须以极限法来取代w法。然而[2]指出极限论有百年糊涂话。最关键要弄清j式
    0＜ρ=1/n＜任意给定的正数ε
    中的ε是在哪一范围内任意给定的数？能否在所有正数中任意给定？不能说清此一不通则百不通的最关键问题，就表明极限论是含混不清的——这是其诲涩难懂、极难学难教严重拖了学生学习物理等相关学科后腿的真正原因——因正常人都有天生拒绝接受思想混乱的“高深”学说的本能。“真理都是很朴实的。”当然，应试教育会使人不正常。常人都能明白极限论断定{1/n}中有正数项1/n<ε，明白：
    j式表达ρ所取各正数ρ均 <ε，“可从某时刻起以后所取各正数ρ均 0称为正无穷小”点明没<ε的正数就没正无穷小变量，然而极限论又说无正数＜ε：“任何非0数都不能是无穷小”非常隐蔽地变相否定有正数＜ε而使常人百年不察极限论的自相矛盾性而一直未能真懂极限论。鲜明对比的是“莱布尼茨的无穷小概念，即所谓≠0却0可取0。于是又有“ρ是变量而不是数”，但至少可取两数的ρ是变量而不可取数的“鬼魂”ρ不是变量，数与数之间才有大小关系而非数ρ竟也>0——越辩解就越混乱啊！②代表正数的ρ可比任何一个正数都小——病句！
    [4]文第1节：“本文第六节揭示标准分析从前门拒绝了无穷数从而‘化解了无穷小危机’，然而又从后门‘神不知、鬼不觉地溜进’了明否暗用的起决定性作用的无穷小正数＜ε，这是其与非标准分析等价的原因。拨乱反正地明用无穷数后微积分就易学易教了。”
    　 　参考文献
    　[1]M?克莱因著、李宏魁译，数学：确定性的丧失[M]，长沙：湖南科技出版社，1999.4:323。
    [2]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话[J]，科技信息，2008（1）：29。
    　　[3]北京大学数学力学系高等数学教材编写组，常微分方程与无穷级数[M]，北京：人民教育出版社，1978。
    　　[4][5][6]黄小宁,50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）；极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2009（26）；百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项[J]，科技信息，2009（1）。
    　　[7][8][9]黄小宁，百年集论确是"疾病"之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）；驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267；再论小学生察觉出小学数学中的常识性错误[J]，教育前沿，2007（12）：110。
    　　[10][11]黄小宁，极浅显常识暴露数学课本有以球为宇的极重大根本错误；极浅显常识凸显数学教育有极重大自相矛盾；见：中国教育创新教师论坛[C]，北京：人民日报出版社，2003.9：367—369。
    　　[12]黄小宁，教科书有一系列不堪一击的极重大致命错误——书上各取正数的无穷大均相比下≈定量0，见：中国学校教育研究?数学?计算机卷[C]，北京：中国民主法制出版社，2004.3:8。
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