战争中你被俘了，敌人拷问你情报。你是这么想的：如果我把情报都告诉他们，他们就会认为我没有价值了，就会杀了我省粮食，但如果我死活不说，他们也会认为我没有价值而杀了我。怎样才能做到既让他们确信我知道情报，但又一丁点情报也不泄露呢？

这的确是一个令人纠结的问题，但阿里巴巴想了一个好办法，当强盗向他拷问打开山洞石门的咒语时，他对强盗说：“你们离我一箭之地，用弓箭指着我，你们举起右手我就念咒语打开石门，举起左手我就念咒语关上石门，如果我做不到或逃跑，你们就用弓箭射死我。”

强盗们当然会同意，因为这个方案不仅对他们没有任何损失，而且还能帮助他们搞清楚阿里巴巴到底是否知道咒语这个问题。阿里巴巴也没损失，因为处于一箭之地的强盗听不到他念的咒语，不必担心泄露了秘密，而且他确信自己的咒语有效，也不会发生被射死的杯具。

强盗举起了右手，只见阿里巴巴的嘴动了几下，石门果真打开了，强盗举起了左手，阿里巴巴的嘴动了几下后石门又关上了。强盗还是有点不信，说不准这是巧合呢，他们不断地换着节奏举右手举左手，石门跟着他们的节奏开开关关，最后强盗们想，如果还认为这只是巧合，自己未免是个傻瓜，那还是相信了阿里巴巴吧。

“零知识证明”说的是示证者向验证者表明他知道某种秘密，不仅能使验证者完全确信他的确知道这个秘密，同时还保证一丁点秘密也不泄露给验证者。阿里巴巴的这个方案，就是认证理论“零知识证明”的一个重要协议。

除了被俘后如何靠情报保命这个问题，零知识证明在社会领域中还有着很多应用场合。例如你证明了一个世界级的数学难题，但在发表出来之前，总是要找个泰斗级的数学家审稿吧，于是你将证明过程发给了他，他看懂后却动了歪心思，他把你的稿子压住，把你的证明用自己的名义发表，他名利双收，你郁闷至死，你去告他也没用，因为学术界更相信的是这位泰斗，而不是你这个无名之辈。

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4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，问是否一定可以找到一个位置使得四条腿同时着地而放稳？

这个问题我在初中的时候就听赵一夫跟我说起过，当时觉得这问题太诡异了，怎么下手啊。今天再一次见到仍然觉得无从下手，看了答案之后顿觉奇妙。答案是肯定的，一定可以找到一个位置使得椅子放稳！

题目的条件先解释一下，4条腿长度相等实际上告诉了我们这4条腿的顶点是共面的。看了网友的回复，确实题目里有隐含条件需要明确地写出来：（1）椅子是正方形的…（2）四条腿的长度相对于地面的起伏来说足够长…(3)只要四条腿同时着地就称之为放稳（即认为地面的摩擦系数无穷大）…（4）起伏不平的地面我们要把它理解成是一个连续的二元函数。

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/*这篇文章的主要内容由热学欧阳颀老师所讲 出自某期New York Times*/

下面要进行的一段推导，将十分诡异，可能有点莫名其妙的感觉，不过还是请完整看下去~
首先说一下什么是哥白尼原理。

Copernican principle:
The best theories are those that do not require the observer to live in a special place in the universe or at a special time in history in order to be true.

也就是说，一个好的理论必须满足，我们既不在宇宙中的一个特殊位置，也不处在一个特殊的时间。这个原理我想大家都可以承认吧。

为了热身，我们先推导一下柏林墙倒塌的时间。

柏林墙于1961年建立，而原文章作者Dr. Gott偶然地于1969年去了一趟柏林墙，此时柏林墙已经存在了8年。

上图中，第一行整体表示柏林墙从建立到最终倒塌的整个生命历程。其中中间50%被染成紫色，这个50%是作者自己设定的，他将给出一个时间区间，而柏林墙倒塌的时间在这个区间里面的概率为50%。

根据哥白尼原理，作者访问柏林墙的这个事件是完全随机的，它落在上图第一条线段上任何一个点的概率是均匀分布的，因此这个点落在紫色区域的概率是50%，也就是说，他去访问柏林墙的时间点处在柏林墙整个生命历程的25%~75%之间的概率是50%。

若他访问的时刻位于第二条直线上的Now位置，也就是说，处于柏林墙生命历程的25%处，那么由此推算，柏林墙的寿命将还有24年（8年占25%，则剩下75%代表24年）。

若他访问的时刻位于第三条直线上的Now位置，也就是说，处于柏林墙生命历程的75%处，那么可以算出，柏林墙的剩余寿命将只有8/3年（8年占了75%，剩下的25%只有8/3年）。

因此，他访问的时刻位于紫色区域时，推算出的柏林墙剩余寿命是在8/3年~24年之间的，因此他声称，柏林墙在未来8/3~24年内倒塌的概率是50%。

当然他也可以把一开始的概率设置成60%或者其他数字，这样将推算出来另一个时间区间，柏林墙生命历程终止于这个新时间区间的概率将为60%。

最终，柏林墙于1989年倒塌。其实，作者写这篇文章的时候已经是90年代了…

下面，他又用同样的方法，给出了人类文明灭亡时间的推算。

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在SF神牛的鼎力推荐下看完了日剧《欺诈游戏》（Liar Game），大赞其游戏设计之强大，尤其是其中的“少数决”游戏。按照SF神牛的说法，看了这个日剧以后会觉得其他的博弈游戏都黯然失色…下面内容转载自http://www.matrix67.com/blog/archives/2591

  欺诈游戏的第二场共有22人参加。这22个人集中在一个阴森的大厅里，参加一个叫做“少数决”的游戏。游戏规则很有意思：主办方随机抽取一个人到台上来，向众人问一个二选一的问题，比如“你信春哥吗”。每个人手里都会得到两张选票，两张选票上都印有自己的名字，但其中一张纸上印有“YES”，另一张纸上印有“NO”。游戏者们有6个小时的时间进行交流和考虑，并要在时间结束前将自己的选择投入投票箱。时间结束后，主办方进行唱票，并规定票数较少的那一方取胜，多数派将全部被淘汰。获胜的选手将进行新一轮的游戏，主办方从剩下的人中重新选一位进行提问，并要求大家在6个小时内投票，唱票后仍然宣布少数派胜出。若某次投票后双方人数相等，则该轮游戏无效，继续下一轮。游戏一直进行下去，直到最后只剩下一人或两人为止（只剩两人时显然已无法分辨胜负）。所有被淘汰的人都必须缴纳罚金，这些罚金将作为奖金分给获胜者。
    这个游戏有很多科学的地方，其中最有趣的地方就是，简单的结盟策略将变得彻底无效。如果游戏是多数人获胜，那你只要能成功说服其中11个人和你一起组队（并承诺最后将平分奖金），你们12个人便可以保证获胜。但在这里，票数少的那一方才算获胜，这个办法显然就不行了。因此，欺诈和诡辩将成为这个游戏中的最终手段。如果你是这22个参赛者中的其中一个，你会怎么做呢？

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一人用颤抖的双手拿着艾滋病检测呈阳性的化验单去找医生：

“医生，弱弱的问一句，这个检测呈阳性是什么意思啊？”

医生：“同志，做好心理准备，你很有可能要悲剧了…目前艾滋病在世界上比较严重，粗略估计大概每1000人中就有一人得艾滋病。我们采用的是某种血液试验检测法用于检测身体中是否含有艾滋病病毒，这种方法相当精确，但也可能带来两种误诊。首先，他可能会让某些真有艾滋病的人得到阴性结果，称为假阴性，不过只有0.05的概率发生；其次，它还可能让某些没有艾滋病的人得到阳性结果，称为假阳性，不过只有0.01的概率会发生。根据这些数据，你差不多可以估计出来自己的囧况了…”

那人：“我X，哥悲剧了…”

OK虚拟的情境到此打住，我现在要问一个问题，请先不要计算，先尝试着用直觉给出一个答案：如果你就是这位哥，在艾滋病检检测呈阳性的条件下，你真的得了艾滋病的概率是多大呢？

请从下面ABC三个选项中选出与你的直觉最接近的：A.90%;  B.50%;  C.10%。

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上一篇日志里介绍了Nim游戏，他的必胜策略可不是那么好想的。这个游戏貌似很久以前就已经有了，可是必胜策略直至20世纪初才被哈佛大学的一个叫做Charles Leonard Bouton的数学家找到，可见其思维难度；可是，这个必胜策略却只要由一个运算就搞定了：Xor(异或)运算，可见Xor运算之神奇。没有好好学过程序设计的人估计对Xor运算不甚熟悉，更不可能知道他的神奇应用了，因此我先说一说Xor运算。

Xor运算是位运算的一种，和And、Or运算类似，假如a、b都是布尔变量，则a Xor b被定义为：a、b相异则为真(所以中文名字叫做异或)，a、b相同则为假。其真值表为：1Xor0=1, 0Xor1=1, 1Xor1=0, 0Xor0=0。众所周知，位运算也可以用于两个数之间，其定义就是把这两个数转化为二进制，然后一位一位的进行位运算。比如说1Xor4=(001)₂ Xor(100)₂=(101)₂=5。位运算除了具有交换律、结合律这样的普通性质之外，还有几条神奇的性质。

Xor运算的神奇性质之一，就是他自己是自己的逆运算，即对于任何两个布尔变量或者数有(a Xor b)Xor b=a。这一点可以从真值表直接验证。有了这样一个性质，我们就可以把交换两个数的函数swap改进一下。大家应该都知道swap可以这么做：

void swap(int a, int b)

{a=a+b; b=a-b; a=a-b;} 

现在我们知道了Xor运算是本身的逆运算之后，就可以把上面的函数改成这个样子：（在C/C++里面把Xor表示为^）

void swap(int a, int b)

{a=a^b; b=a^b; a=a^b;}

乍一看肯定会觉得这个交换函数写的非常诡异，但是仔细一看就知道其原理和刚才那个是一模一样的。而且因为计算机在执行位运算的时候肯定比加减法要快，所以用Xor写的交换函数实际上还更快呢。

这里有一个有意思的小问题：现在给你2n+1个正整数，其中有n对数和1个单独的数，（这里规定一对数的意思是这两个数相等），然后让你设计一种算法，把这个单独的数给找出来，要求时间复杂度为O(n)。比如说这2n+1个数是1 2 3 2 1，那么这个单独的数就是3。如果你的思路是依次挑出一个数然后和其余所有数比较一下看看是否相等，那就换个思路吧，因为这样的时间复杂度是O(n²)的。答案见本文末尾。

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