在我们的少年时代，有很多人都有这样的经历，在各种平面几何问题中抓耳挠腮，证明来证明去，为了证明一个角是直角而浪费了精力，荒废了青春。很多人因为不会证明平面几何中关于直角的问题，遭到父母的毒打，乃至与梦中的重点中学、大学失之交臂。可又有多少人知道，其实钝角就等于直角。所有钝角尽管看起来不一样大，但是早在欧几里得时代，伟大的古希腊数学家们就早已通过严格的数学证明了钝角统统等于直角！可是在中国，黑暗的中国教育界却可耻的隐藏了这一秘密，当今中国几乎就没有人知道钝角和直角相等这一本该人尽皆知的秘密！

众所周知，平面几何的最经典著作当属欧几里得的《几何原本》，当今所有的平面几何课本都基本按照原本的框架讲述。而关于钝角等于直角的证明，其实就静悄悄的隐藏在《几何原本》的后记当中。下面贴出古希腊数学家给出的证明：

如上图，ABCD为矩形，在矩形外选取一点E，使得DC=DE。G、F分别为BC、BE中点，然后过G、F分别作垂线，两条垂线相交于H。连接H与ABDE四点，就形成了上图。（为了让证明过程更清晰，已经把一些相等的线段染成了同一种颜色。）（因为种种原因，图可能画的有点不太准确有点难看，请原谅。。）

现在开始伟大的证明：

因H在AD的垂直平分线上，故AH=DH。因H在BE的垂直平分上，故BH=EH。因DC=DE且ABCD为矩形，故AB=DE。至此，ΔABH和ΔDEH的三边都相等，根据“边边边”（初中平面几何里学的全等三角形判定条件之一），ΔABH与ΔDEH全等。因此∠BAH=∠EDH。上式两边分别减去∠HAD和∠HDA（因等腰三角形，这二角显然相等），则可得出图中α、β二角相等！显然，α为直角，而β为钝角！

因此可以得出我们的结论：所有钝角等于直角！

从古到今，几乎所有国家的数学书上都白纸黑字的写着钝角等于直角。1949年新中国成立后，所有数学课本上则明确区分了钝角和直角。同时，所有民国时期的数学课本均被销毁。这样做的真实目的，是为了让小学生初中生在数学的苦海中挣扎，让他们把自己的全部精力耗尽于证明各种直角相关的平面几何题，这样他们便不会有精力心生叛逆上街游行闹事。

对平面几何被如此猖狂的扭曲，大多数中国人选择了失忆和沉默，只有一个人站了出来。

赵文武，1909年6月31日生于广州，1928-1936年就读于南京国立中央大学数学系。年少时即表现出天才般的数学造诣，其博士论文《11维欧几里得空间中的直角与钝角的大小关系》引起国内外数学界的震惊。吴与同一时期在清华大学暂露头角的华罗庚一起被认为是中国数学界的两大青年才俊，并称“南赵北华”。两人成为惺惺相惜的挚友。建国后，华罗庚内敛、现实的性格使他在历次运动中采取了随波逐流、明哲保身的无奈态度。而赵文武固执地遵循着在民国故都接受的道德教化，使他保留了坚持真理、敢怒敢言、不向任何威权妥协的君子遗风。50年代末，赵文武无法接受所有数学课本上不把钝角与直角等同的做法，坚持传授所有钝角等于直角的秘密，在反右运动中被打倒。同样在历经打击后，华罗庚忍辱负重，违心地附和“数学要为工农兵的实际生产服务”，并多次暗示吴妥协，“留得青山在”，赵文武却毫不动摇，继续坚持着钝角直角相等。最后，在文革中，不明真相的红卫兵被煽动起来，将赵文武插上“反革命学术异端”的牌子，游街批斗后沉塘。在挂上了石头，被推下后海的最后一刻，赵文武面对已经失去理智的红卫兵，仍然从容地说：“我们的教科书真实率低于5%，连数学也不例外，你们年轻人要敢于怀疑。越是从小学习，看起来理所当然的知识越值得怀疑。越早让你们学，越是有人迫切地希望你们在没有辨别能力的时候学进去。因为你们大了就不那么好骗了。所有的钝角，都是等于直角的。。”在一片“打倒反革命疯子赵文武！”的喊声中，赵文武被扔进了水中。

在那个人人自危的年代，华罗庚强忍着心中的悲痛，一直不敢公开表达对赵文武的悼念之情。1978年赵文武被平反，华罗庚第一个来到赵的墓前。他的眼泪像断了线的珠子一样不停地流，“文武兄，我来晚了……”

赵文武之后，中国再没有人敢公开支持钝角等于直角。后来也曾有民间团体将上面的证明用图整合到徽标上，希望籍此暗语提醒世人“钝角等于直角”的事实。甚至通过自残等乖张怪异的举动吸引注意，未料无人知其苦心，意图却被官方首先识破，不得不流落异乡。从此，钝角等于直角的秘密也就渐渐不为人知了。

/************************我是蛋疼的分割线*************************/

写这篇文章的动机，是因为看到了人人网上的一篇神文《圆周率真的等于3.14吗？我们的教科书真实率低于5%，连数学也不例外。》， 读罢便深深膜拜作者的功力之深厚，我辈望尘莫及。原来一个经典数学伪证，经过这样一包装，可以如此吸引眼球传播广泛。于是我便不厚道的大段模仿原作，尝试着推广本文所述的经典伪证，同时验证一下是否真的只要经过包装数学问题都能引起大众注意。这个网站的读者也许大部分都看过这个经典伪证，但是我仍然为想不通它错在哪的读者提供一个线索吧：其实如果严格作图，H点应该更加靠下，以至于EH会跑到D点右侧，而不是上图中的那样，自己动手画出准确图形就自然可以看出这个伪证错在哪里了。

我猜您也喜欢：

几个数学娱乐

两个好玩的数学游戏

一个让你和她心有灵犀的数学魔术

几道有意思的小数学题

神秘的本福特定律

无觅

0. 勾股定理&余弦定理

这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《毕达哥拉斯命题》（ Pythagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。

实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况，而余弦定理的证明，同样可以不用语言。

arctan1/2+arctan1/3=π/4

acrtan1+arctan2+arctan3=π

4. 平方数的求和公式

1^2+2^2+3^2+...+n^2=1/3*n(n+1/2)(n+1)

5. 立方数的求和公式

1^3+2^3+3^3+...+n^3=1/4*(n^2+n)^2

我猜您也喜欢：

一张图证明著名等式

证明：三角形的质心是三条中线交点

一个超级赖皮的数学证明方法——例证法

代数基本定理的一个最简单证明

复数方法巧解平面几何题

无觅

代数基本定理，是指任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。从代数基本定理可以很显然的推论出我们可能在初中就已经熟悉的一个结论：一元n次方程必有n个根。虽然大家都已经对这个定理感到习以为常，但是其实它并不是显然的，因为如果只考虑实数，一元n次方程就不一定有根。当把研究对象拓展到复数时，一下子所有代数方程就有解了，这其实是一件很不显然的美妙结论。

关于代数基本定理，有很多很多种证明方法。貌似第一个证明是牛逼哄哄的高斯在博士论文中给出的...基本所有的证明方法都或多或少的用到了一些比较高等的数学，对于只有高中数学知识的人来说很难看懂。即使是《什么是数学》里给出的证明，也用到了一个并不是那么好理解的“卷绕数”的概念。但是，下面要给出的证明，只需要有关于复数的基本概念就可以理解，只要几句话就证明完毕了！此证明由北大数院的范后宏老师在“古今数学思想”课上提供。

代数基本定理证明：

设

于是我们想要证明的结论就是：一定能找到某个z，使得w(z)=0。

我们先把z写成的形式。

首先，我们考虑r=0的情况。这时w(0)将是复平面上的一个点，并且这个点就是a0，且a0不等于0。（如果a0等于0那z=0就是原方程的解了，定理直接得证。）

然后，我们再考虑0<r<∞的情况。对于一个固定的r，如果这时我们让θ从0到2π连续变化，那么对应着w(z)将会在复平面上画出一条封闭的曲线，如下图。这个曲线可能是很扭曲的形状，也不一定是绕了一圈的，可能绕了很多圈。比如w(z)=z^2，当z的辐角从0到2π连续变化时，w(z)将在复平面上绕着一个圆转两圈。在这里我们并不关心这条曲线的具体形状。

最后，我们再考虑r->∞的情况。此时当z的辐角从2π连续变化时，显然w(∞)的所有值都将是无穷大（因为此时只有z的最高阶项是起作用的，而它前面的系数是1），对应着就是w(∞)将在复平面上的无穷远处画出一条封闭曲线，见下图。

于是，当r连续的从0变化到∞时，这条曲线将从一个点连续的变化成一条跑到无穷远处的闭合曲线。于是，其中必有某一条曲线经过了0点，于是命题得证。

证毕。

用更加形象化的语言，此证明只有一句话：在未名湖中的一点扔下一颗石子，将激起一圈不断扩大的涟漪，在涟漪到达湖边之前，它一定会经过指定的一个点。

当然，如果要追求严格性的话，这种“证明”并不算是严格证明的。但是它却将一个并不是很显然的命题变得非常形象化，某种意义上来说可以显然的看出它是对的，我觉得对于一个学物理的孩子来说这就已经足够了。

我猜您也喜欢：

一个超级赖皮的数学证明方法——例证法

证明：三角形的质心是三条中线交点

一张图证明著名等式

盘点数学里十大不需要语言的证明

一道难题巧解

无觅

就假设赌徒跟赌场玩的是赌大小的问题，输赢概率是严格的1/2。赌徒身上带着5元钱，每次下注1元。如果赌徒身上的钱在某个时刻输光了，那么赌徒就会离开赌场回家；如果赌徒连续赌了1000次都没有输光，赌徒在这个时刻就会停止赌博结算完毕回家去。如此一来，利用赌徒停止赌博两个边界条件的不对称性，随着赌徒增多，赌场就可以从中赚钱了~！

乍看似乎确实有道理，因为不仔细想的话会觉得赌徒输钱离开赌场的概率似乎确实比较大。但是如果写一个程序跑一跑看看赌场最终会赚多少钱，结果会出乎意料：赌场赚到的钱数将会在基本上以0为中心的一个范围内震荡，并不会随着赌徒人数增多而增多！

问题出在哪呢？其实这个结果也不算过于出乎意料。因为虽然赌徒输钱离开的概率是比较大的，但是他赔的钱就那么些；但是赌徒如果是赌了1000次才离开的，走的时候赚走的钱数可能相比而言是很多的。于是二者的作用是有可能恰好抵消的。如果你有耐心做详细的定量数学计算的话，其实是可以解析的给出这个问题的结果的，赌场赚到的钱数随赌徒人数怎么变化是可以精确算出来的。

但是还有一种很巧妙地思路可以一下子看出来，其实赌场从期望上来说就是不赚的！仔细想一下：一个赌徒离开赌场回家了然后又另外来了一个新赌徒来赌，和一直就是一个人在赌没有离开，有什么区别吗？没有区别！这就是问题的关键，只要看成是所有赌徒根本就没有离开赌场一直在赌，那么这问题就很清晰了：输赢概率1/2就意味着无论如何赌场也不会赚。之所以可以这么看，其原因就在于每一次赌博都是独立的，跟之前的输赢什么的没有丝毫关系。

但是问题又来了。不知道大家还记不记得随机游走的猫捉老鼠问题（参见这篇文章）。简单描述一下吧：一只猫一开始在数轴的x=1点上，x=0处有一只老鼠。猫是可以走动的，每一步在数轴上分别以二分之一的概率或朝着正方向或朝着负方向走1的距离。当猫到达0的位置时，猫就抓到老鼠了，游戏结束。问题是：猫最终在某个时刻捉到老鼠的概率是多大呢？这篇文章给出了一个非常巧妙地方法，得到了一个出乎意料的结论：猫捉住老鼠的概率是100%！

可以看出猫捉老鼠问题和赌徒的问题是极为相似的，如果把赌徒赌1000次就离开改为无穷大次，那么这两个问题就完全等价了。如果把1000真的改成无穷大，那么赌场似乎就一定会赚钱了：只盯着一个赌徒看，他只要进去了，要出来就只有1种可能性，那就是输掉了5元钱，而前面算出的猫100%捉到老鼠，就意味着赌徒只要进去了就100%的会输了钱出来。可是1000次相对于5来说已经基本上算是无穷大了啊，为什么赌场不赚呢？！把程序里的1000改成10000甚至100000再运行，发现结果仍然是赌场不赚。难道真实的无穷大和近似的无穷大差别这么大？！

后来我想到其实是可以用程序模拟真实的无穷大的，其实很简单，只要把原先的循环条件从for(i=0;i<1000;i++)改成while(1)就可以了。于是，令人吃惊的一幕出现了：程序根本就跑不出结果来，就在那里一直运行着。这时我终于明白问题的关键所在了：zhiqiang同学曾在这篇文章底下评论道：“猫要捉到老鼠的期望时间是无穷大的。”！！！于是，最终赌场确实会赚没错，只是，进去一个赌徒就有可能需要无穷长（真实的无穷长！）的时间才能出来，概率100%是没有用的，关键是有限的时间里有些赌徒是根本出不来的。。。于是，在有限长的生命里看到赌场赚钱是不可能的了。。。至此矛盾消失。

最终的结论就是：只要输赢概率是严格的1/2，赌徒采取前面所述的策略赌钱，赌场是赚不到钱的。但是，有句话说得好，赌场就是赚两种人的钱的：一是不懂概率的，另一种是拿着一个概率公式以为正确想进去验证验证试试的。。。哈哈。。。

我猜您也喜欢：

钝角其实和直角相等！我们的教科书真实率低于5%，连数学也不例外。

培训归来

音调无穷上升的音乐

狭义相对论重要公式备忘

一张图分出你是用左脑还是右脑

无觅

欧几里得的几何原本上是这么定义直线的：“直线是它上面的点一样地平放着的线”，其中线的定义是“线只有长度而没有宽度”。显然在逻辑上这样的定义是极其不严格的，因为什么叫做“一样的平放着”只是一个日常生活中的直观概念。这也就是说欧几里得的几何原本相当于并没有对直线给出定义，尽管直线是几何学最基本的基本概念之一。

可能很多人会认为直线被定义成“两点间最短的线”（在这里就不去区分线段和直线了），然后就觉得在逻辑上就已经定义清楚了。但是这里还有一个问题，那就是什么叫做短？要有长短的概念就要先有距离的概念，而仅仅在几何学内考虑这个问题的话，要丈量距离就必须先有尺，而尺的形状又是直的，因此距离的概念其实是建立在直线的概念之上的。所以如果只考虑几何学那么用距离定义直线就成了循环定义了。

所以在数学上，我们就不能单从几何的角度去定义距离了。为了定义距离，我们需要在空间的每一个无穷小的区域上建立一个笛卡尔坐标系，在每一个小的笛卡尔坐标系内部可以通过普通的解析几何的方法定义出距离，然后在整个路径上对每一个小段上的距离进行叠加，从而定义出两点间连线的距离。之所以能在无穷小区域上建立笛卡尔坐标系，是因为一条曲线在无穷小区域上，我们可以把它近似为一小段直线（这个直线就是我们通常直观认识的直线），这个思想其实在最基础的微积分里面就已经有了。（如果一个空间奇异到在无穷小区域上无法建立笛卡尔坐标系，那么一般我们就不去研究它了。）至于为什么不能直接在大区域上直接建立笛卡尔坐标系来定义距离，原因很简单，坐标轴要画成直线啊，在没有直线概念的时候又哪里来的坐标轴呢...一个能够帮助理解的简单例子是在球面上定义最短线，如果直接建立笛卡尔坐标，其中的坐标轴就用我们直观感受的那种直线的话，那么最短线是必须脱离球面而经过球面之外的空间的。但是在球的表面的每一个无穷小区域上建立微小笛卡尔坐标系，就可以很好的沿着球表面定义出一条最短线。

至此，我们基本上可以把直线就定义成两点间距离最短的线了。但是，一定要知道一点，如此定义并没有定义出唯一一种直线。显然在一个球面上定义出的最短线，在我们看来其实是圆弧；在马鞍面上画出的最短线，在我们看来也是弯弯曲曲的线...他们都属于非欧几何。庞加莱圆盘模型（参见这篇文章）就是非欧几何的一种，按照那里定义的距离，圆盘模型内的直线在我们看来就成了圆弧了。

那么怎么定义才能保证刚才定义出来的直线就是我们通常直观上的直线呢？其实很简单，只要再加上一个公理，即传说中的欧几里得第五公设就可以实现：同一平面内一条线段和另外两条线段相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两线段经充分延长后在这一侧相交。非欧几何正是做出了与第五公设相反的假设而得名的，给出不同的公理，就会得出各种各样的非欧几何。

至此，我们终于可以引入Hilbert大神对直线的理解了：点和直线不可定义，真正需要的是点和直线之间的关系！而对于点和直线之间的最基本关系，Hilbert用公理来确定。“几何学就是给直线一个定义”，只要给出一个直线的定义，就有一套几何学！（这里说的给直线一个定义，意思就是给出一个与现有数学体系无矛盾的描述直线和点之间关系的公理）。而许多不同的几何学在数学上都是正确的，因为它们都被证明是与现有数学体系没有矛盾的。

以上都是数学上对直线定义的讨论。但是现实世界中，我们总得给出对直线的唯一一种定义，然后我才能说从宿舍到食堂到底有多远，以及天文里面一颗恒星距离我们到底有多远。那到底哪一种几何学是“真”的呢？什么是现实世界中的客观的直线呢？

通过上面的讨论我们知道了，对于直线的定义其实是随意的。但是基于一些的物理上的信仰，我们仍然对现实中直线的定义作出几条限制：1.不能依赖于主观参考系；2.该定义对于长距离一定也要有效。

现代物理学认为自然界中只有4种相互作用力，其中只有电磁力和引力是长程作用力，于是对应着只有光子和引力子满足上述两条要求（在量子场论中，光子是传递电磁力的粒子，引力子是传递引力的粒子）。鉴于现在引力子仍然没有被观测到，因此我们只剩下了唯一一种选择：定义直线为光子走过的路径！于是相对应的，现实世界也就只有唯一一种几何学了。（将来很有可能观测到引力子，因此在未来很有可能把直线定义为引力子走过的路径...当然引力子的性质和光子是不同的，于是这两种直线的定义就是不同的，于是将来就会有两种不同的真实几何学。这两种不同的几何学必须要统一起来，可见理论物理学的核心问题之一——统一引力和其他三种作用力是多么重要！）

有意思的是，天文学的观测表明，光经过大质量物体时会发生偏折，也就是说我们真实的宇宙中三角形的内角和并不等于180°！（这正是广义相对论的预言）。。。于是，非欧几何不仅仅在逻辑上是存在的，它更是真实世界的几何学！到头来我们才发现，原来我们一直以为很显然的初中学的欧几里得几何学，充其量只是数学家头脑中凭空构造出来的玩具而已。。。

最后再补充一点，鉴于在物理上我们定义直线为光走过的路径，而在小尺度上光子因为量子效应不再具有很好的粒子性，不再具有通常意义上的轨迹，因此，在小尺度上（小到量子效应很明显），几何学根本就是不存在的！这也就是为什么量子力学中就再也没有轨迹这种几何学概念了。

至此，总算是把直线的定义给说清楚了...

//本文基本观点来自北京大学数学科学学院范后宏教授“古今数学思想”课。

//原载于果壳网

我猜您也喜欢：

用逻辑学规范物理学（一）

用逻辑学规范物理学（二）

狭义相对论重要公式备忘

庞加莱的几何学

用逻辑学规范物理学（三）

无觅

一天，我拿出两个大学（P大和T大）的统计数据开始研究。“物理学院，P大男女比例大于T大；数学科学学院，P大男女比例又是大于T大...哇，怎么所有专业P大的男女比例都高于T大啊...那还犹豫什么呢，我肯定报T大了！”正当我刚刚心意已定的时候，突然看到了统计数据的最后一行：P大的总体男女比例低于T大！“什么？！有没有搞错？怎么可能P大的所有专业男女比例都高于T大，但是整体男女比例却低于T大了呢？！肯定是哪里算错了吧...”于是我拿出计算器狂敲，却发现没有任何一个计算错了的数据，这种情况真的可能发生吗？

多说无益，请看下面编造出来的一份男女比例数据：（其中假设两所大学都只有物院和外院两个专业）

物院的数据：

外院的数据：

学校整体数据（即上述两个专业人数之和）：

数据可不会是骗人的，不信可以自己动手验算一下，真的出现了这种违背常理的情况！这种现象被称为“辛普森悖论”，虽然这么叫，但其实这不是个真正的悖论，它内部没有包含逻辑上的矛盾，只是违背了人们的常理。

可能有些人还是一头雾水，虽然数据是如此，没错，可是还是不能理解到底发生了什么使得结论如此古怪。让你构造出来一个类似的数据，恐怕你也很难直接想得出来吧！人们对几何图形的想象力总是好于对数字和字母，因此为了更直观地表现出辛普森悖论，我们看下面一副向量图：

图中，黑色的线代表P大数据；红色的线代表T大的数据。Ap点的横坐标为P大外院女生人数，纵坐标为P大外院男生人数；Bp点的横纵坐标则分别为P大总女生人数和男生人数。At和Bt点的意义与之相对应。

设坐标原点为O，则OAp的斜率表示的就是P大外院的男女比例，ApBp表示的是P大物院的男女比例，OBp表示的则是P大总男女比例；T大的各线段斜率意义与之对应。

如此一来，一切都变得清晰起来了！辛普森悖论反映在这张图上，就成了一个显然的事实：在P大的外院、物院两个向量的斜率分别大于T大的两个向量的斜率的条件下，总人数向量的斜率当然不一定哪个大呀！根据这个直观的理解，你也可以随意编造能产生辛普森悖论的数据了吧！

知道了辛普森悖论这一事实之后，我们以后对待统计数据就要更加小心了。 在数学中经常会出现这种出乎人们意料的惊人事实，所以还是一定要学好数学啊~！

（原载于果壳网）

我猜您也喜欢：

统计数据、相关性与因果关系

有趣的堵火车悖论

有趣的测试你反应能力的一套题

潜水艇悖论

趣题：求两圆柱相交部分的体积

无觅

题是这样的：证明，在任意四边形的四条边上各做一个正方形，那么连接相对的正方形中心的线段互相垂直并且等长。示意图如下。

这道题的平面几何做法我已然忘却，现在的脑子也已经解不动平面几何题了。。就直接把书上的巧妙复数解法贴过来吧~

设2a、2b、2c、2d为表示四边形4边的复数（引入因子2只是为了方便），唯一的条件是这个四边形是闭合的，即a+b+c+d=0。

如果以图中O为原点，要想走到2a这条边的正方形中心，就要先走一个a，再沿着与a成直角（逆时针）的方向走过同样地距离。这样，由于ia正是a以逆时针方向旋转一个直角而得（想想复数乘法的几何意义，模相乘而辐角相加），所以p=(1+i)a。

同理，q=2a+(1+i)b，r=2a+2b+(1+i)c，s=2a+2b+2c+(1+i)d。

所以由q到s的复数A=s-q和由p到r的复数B=r-q就是 A=(b+2c+d)+i(d-b)，B=(a+2b+c)+i(c-a)。

我们想要证明的是A和B垂直并且等长，而这两个命题恰好可以由一个复数命题来表达：B=iA，即A+iB=0。这里仍然是用到了复数乘法的几何意义。

而这样一来问题就归结为简单的复数运算了：A+iB=(a+b+c+d)+i(a+b+c+d)=0。

问题轻松解决！

因为我高中就没有学过数学竞赛，所以不了解用复数解平面几何题是不是属于常规解法之一，反正我看到这个解法之后还是相当震撼的。《复分析——可视化方法》这本书才刚刚开始看，就已经惊喜连连。这本书的作者坚持认为，应当用形象化的东西来帮助我们学复分析，而不是用那套我看着发晕的形式化语言，相当符合我的风味，复分析本来该是最美的数学分支，却被我们的老师搞的就成了背公式算题。并且他还宣称是继承了牛顿那套用几何方法推演微积分的方法，等我继续看下去看有没有什么更加震撼的东西再来分享吧~

我猜您也喜欢：

盘点数学里十大不需要语言的证明

代数基本定理的一个最简单证明

几个数学娱乐

证明：三角形的质心是三条中线交点

几道有意思的小数学题

无觅

现在，叫你的朋友报出第 10 个方格里的数，你只需要在计算器上按几个键，便能说出第 11 个方格里的数应该是多少。你的朋友会非常惊奇地发现，把第 11 个方格里的数计算出来，所得的结果与你的预测一模一样！这就奇怪了，在不知道头两个数是多少的情况下，只知道第 10 个数的大小，不知道第 9 个数的大小，怎么能猜对第 11 个数的值呢？

~~~~~~~

魔术揭秘：只需要除以 0.618

其实，仅凭借第 10 个数来推测第 11 个数的方法非常简单，你需要做的仅仅是把第 10 个数除以 0.618，得到的结果四舍五入一下就是第 11 个数了。在上面的例子中，由于 249÷0.618 = 402.913.. ≈ 403，因此你可以胸有成竹地断定，第 11 个数就是 403。而事实上，154 与 249 相加真的就等于 403。把头两个方格里的数换一换，结论依然成立：

可以看到，第 11 个数应该为 215+348 = 563，而 348 除以 0.618 就等于 563.107..，与实际结果惊人地吻合。这究竟是怎么回事儿呢？

魔术原理：溶液调配的启示

不妨假设你的好朋友最初在纸上写下的两个数分别是 a 和 b 。那么，这 11 个方格里的数分别为：

接下来，我们只需要说明，21a+34b 除以 34a+55b 的结果非常接近 0.618 即可。

让我们来考虑另一个看似与此无关的生活小常识：两杯浓度不同的盐水混合在一起，调配出来的盐水浓度一定介于原来两杯盐水的浓度之间。换句话说，如果其中一杯盐水的浓度是 a/b，另一杯盐水的浓度是 c/d，那么 (a+c)/(b+d) 一定介于 a/b 和 c/d 之间。

因此，(21a+34b)/(34a+55b) 就一定介于 21a/34a 和 34b/55b 之间。而 21a/34a = 21/34 ≈ 0.6176，34b/55b = 34/55 ≈ 0.6182，可见不管 a 和 b 是多少，(21a+34b)/(34a+55b) 都被夹在了 0.6176 和 0.6182 之间。如果 a 和 b 都不大，用 21a+34b 的值除以 0.618 来推测 34a+55b 是相当靠谱的。

有的读者可能已经发现了，0.618 不是别的数，正是神秘的黄金分割；而上表中出现的系数 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 正是传说中的斐波那契数列。算术中最富神秘色彩的两个概念在此交织，看来这个简单小魔术的来头并不简单啊。

我猜您也喜欢：

几个数学娱乐

两个好玩的数学游戏

3.14 Today Is Pi Day!

复数方法巧解平面几何题

椅子的稳定性问题

无觅

这一招可够狠的，如果这个古董的价格在两位专家心里都是1万美元，他们会如何报价呢？A会想，如果B如实报了1万美元，那我报9999美元，就可以净赚很多。可是，转念一想，如果B想到了我会报9999元，而报9998元怎么办？那么我的对策就是，我说9997元..可是，如果B连这一步也想到了怎么办...如此下去，想的越深，报价就会越低，如果按照经济学中的理性人假设的话，如此分析下去，两个人只有都报0元才能最终达到纳什均衡，而这个结果却正是最坏的结果。

那么在实际中遇到类似情况大家会怎么报价呢？

这让我想起了在学而时嘻之看到的一个案例。《金融时报》刊登了一个很诡异的广告，说你可以随便写一个0~100之间的整数寄回编辑部，然后如果你写的这个数最接近所有寄来的数的平均数的2/3，你就可以获得一张伦敦到纽约的头等舱往返机票。

如果是你你会写几呢？如果大家都随机写的话，平均数会是50，于是最接近50的2/3的数是33。但是，聪明的你是肯定不会写33的，因为你早已经想到大家都已经想到这一点了，于是假设大家都写了33，那么你就应该写33的2/3即22。但是，聪明的你又想到大家都会想到这一点，于是你又应该写15。。。如此下去，你会发现，如果你假定大家都是极为理性的话，只有写0才最合适。可是，你会写0吗？

当时《金融时报》得到的结果是，平均数是18.9，写了13的人将获胜。

其实我真的很想让经济学或者博弈论课的老师在课上做这么一个实验，每人写1个数，然后最接近班里平均数的2/3的人将在期末考试中加10分，然后统计统计看看到底大家都写的是多少。

如果你参与了，你会写几？

//原载于果壳网

我猜您也喜欢：

两个好玩的数学游戏

IE浏览器用户智商低? Meme理论的伟大胜利

“少数决”游戏

怀疑精神&考据精神

最小作用量原理与物理之美6——对称守恒与作用量

无觅