辛普森悖论：诡异的男女比例
大学的男女比例问题一直是广大宅男同胞所关心的重大问题，也是高中同学聚会时必然谈起的话题，对于选择大学来说，这也是一项重要指标~..
一天，我拿出两个大学（P大和T大）的统计数据开始研究。“物理学院，P大男女比例大于T大；数学科学学院，P大男女比例又是大于T大...哇，怎么所有专业P大的男女比例都高于T大啊...那还犹豫什么呢，我肯定报T大了！”正当我刚刚心意已定的时候，突然看到了统计数据的最后一行：P大的总体男女比例低于T大！“什么？！有没有搞错？怎么可能P大的所有专业男女比例都高于T大，但是整体男女比例却低于T大了呢？！肯定是哪里算错了吧...”于是我拿出计算器狂敲，却发现没有任何一个计算错了的数据，这种情况真的可能发生吗？
多说无益，请看下面编造出来的一份男女比例数据：（其中假设两所大学都只有物院和外院两个专业）
物院的数据：
| 男生人数 | 女生人数 | 男：女 | |
| P大 | 45 | 8 | 5.6:1（大） |
| T大 | 101 | 51 | 2.0:1 |
外院的数据：
| 男生人数 | 女生人数 | 男：女 | |
| P大 | 50 | 201 | 0.25:1（大） |
| T大 | 9 | 92 | 0.10:1 |
学校整体数据（即上述两个专业人数之和）：
| 男生人数 | 女生人数 | 男：女 | |
| P大 | 95 | 209 | 0.45:1 |
| T大 | 110 | 143 | 0.77:1（大！） |
数据可不会是骗人的，不信可以自己动手验算一下，真的出现了这种违背常理的情况！这种现象被称为“辛普森悖论”，虽然这么叫，但其实这不是个真正的悖论，它内部没有包含逻辑上的矛盾，只是违背了人们的常理。
可能有些人还是一头雾水，虽然数据是如此，没错，可是还是不能理解到底发生了什么使得结论如此古怪。让你构造出来一个类似的数据，恐怕你也很难直接想得出来吧！人们对几何图形的想象力总是好于对数字和字母，因此为了更直观地表现出辛普森悖论，我们看下面一副向量图：
复数方法巧解平面几何题
快放假了才买到《复分析——可视化方法》这本书，相见恨晚啊，这本神书，如果我能早点读，这学期的复变函数估计就学的不会这么吃力了。。。在这本书开头的地方有一个用复数方法解决平面几何问题的例子，我一看便惊了：这正是我初中时候见到的一道印象极其深刻的平面几何题，曾为它绞尽脑汁也没有想出做法呢，然而这本书就用复数的方法巧妙而自然给解决了~ 贴出来共享一下。
题是这样的：证明，在任意四边形的四条边上各做一个正方形，那么连接相对的正方形中心的线段互相垂直并且等长。示意图如下。
一个让你和她心有灵犀的数学魔术
在一张纸上并排画 11 个小方格。叫你的好朋友背对着你（确保你看不到他在纸上写什么），在前两个方格中随便填两个 1 到 10 之间的数。从第三个方格开始，在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第 10 个方格里的数。假如你的朋友一开始填入方格的数是 7 和 3 ，那么前 10 个方格里的数应该是
| 7 | 3 | 10 | 13 | 23 | 36 | 59 | 95 | 154 | 249 |
现在，叫你的朋友报出第 10 个方格里的数，你只需要在计算器上按几个键，便能说出第 11 个方格里的数应该是多少。你的朋友会非常惊奇地发现，把第 11 个方格里的数计算出来，所得的结果与你的预测一模一样！这就奇怪了，在不知道头两个数是多少的情况下，只知道第 10 个数的大小，不知道第 9 个数的大小，怎么能猜对第 11 个数的值呢？
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魔术揭秘： Read more
人的非理性选择
考虑这样一个情景：两个古董专家利用公款在国外买了一个珍贵的古董，但是他们回国的时候因为飞机的托运，把古董给摔坏了。航空公司决定赔偿，但是古董这种东西，价钱可不好衡量，万一他们漫天要价航空公司也不好辨别，于是他们就想出了一个招：把这两个专家隔离开来，分别问他们这个古董的价格，然后按照两个价格中较低的那个进行赔偿，同时再付给报低价的那个人同样多的钱（如果两人报价相同就只照价赔偿而不另外付钱）。//注：额外给的钱是奖励给个人的奖金，你并不能指望你的同事拿到这笔钱之后跟你平分...
这一招可够狠的，如果这个古董的价格在两位专家心里都是1万美元，他们会如何报价呢？A会想，如果B如实报了1万美元，那我报9999美元，就可以净赚很多。可是，转念一想，如果B想到了我会报9999元，而报9998元怎么办？那么我的对策就是，我说9997元..可是，如果B连这一步也想到了怎么办...如此下去，想的越深，报价就会越低，如果按照经济学中的理性人假设的话，如此分析下去，两个人只有都报0元才能最终达到纳什均衡，而这个结果却正是最坏的结果。
那么在实际中遇到类似情况大家会怎么报价呢？
这让我想起了在学而时嘻之看到的一个案例。《金融时报》刊登了一个很诡异的广告，说你可以随便写一个0~100之间的整数寄回编辑部，然后如果你写的这个数最接近所有寄来的数的平均数的2/3，你就可以获得一张伦敦到纽约的头等舱往返机票。
如果是你你会写几呢？ Read more
上帝能造出他自己都搬不动的石头吗？
小时候看《时间简史》，对里面一副插图里的话印象很深：“上帝能造出他自己都搬不动的石头吗？”，从此我便把它作为上帝不是万能的这一命题的证明。因为，如果你回答“能”的话，那么上帝就连某块石头都搬不动；而如果你回答“不能”的话，那么上帝就连一块满足某条性质的石头都造不出来，他也不是万能的。
但是，其实这个证明里面隐藏着一个致命的逻辑错误。
这要从如何定义一个概念说起。在逻辑学上，对于定义有一条不起眼的要求，那就是给出定义以后要证明其存在性。比如说我定义质数为除了1和它本身没有其他正约数的正整数，从理论上来说我得证明这种数是存在的，我们可以举个例子来证明其存在性，比如说2就是质数。这可能和我们这么多年的学习经验不符，我们学习数学概念的时候可从来没有见过什么存在性证明啊...我们学的大多数概念的存在性的证明都是比较显然（举个例子就可以了），因此在课本里从来不出现，但是这绝不意味着存在性证明没有用，尤其在抠逻辑漏洞的时候。
比如说吧，我要定义一种数叫做“蛋疼数”，他被定义为“大于2的偶质数”，显然蛋疼数就不存在。然后假如我基于蛋疼数演绎出来了一整套蛋疼理论，看上去完美无缺而且非常漂亮，可是回过头来一看，哎呀，蛋疼数居然不存在，那整个理论体系的根基就倒塌了。
再比如说，我要定义一种数叫做“牛逼数”，他被定义为“大于4的不能写成两个质数之和的偶数”，很明显牛逼数就是违反哥德巴赫猜想的数...这样，牛逼数的存在性证明实际上就是找到哥德巴赫猜想的反例，这可实在不是一件很显然的事情...
好了，回到上帝是不是万能的问题上来。 Read more
神秘的本福特定律
统计一下世界上237个国家的人口数量，你觉得其中以1开头的数会占多大比例，而以9开头的数又占多大比例呢？如果你的回答是都为1/9，恭喜你你是正常人，但是事实却不是如此：以1开头的数惊人的占到了27%，而以9开头的数却只占5%。下图可以很形象的展示出在各国人口数量问题上，以各个数字开头的数占了多大的比例（图片来自维基百科）。为什么会相差这么大呢？这正是神秘的本福特定律在起作用。
本福特定律，也称为本福德法则，说明一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现机率约为总数的三成，接近期望值1/9的3倍，推广来说，越大的数字，以它为首几位的数出现的机率就越低；精确地数学表述为：在b进位制中，以数n起头的数出现的机率为logb(n + 1) − logb(n)。
在十进制中，首位数字出现的概率为：
| d | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| p | 30.1% | 17.6% | 12.5% | 9.7% | 7.9% | 6.7% | 5.8% | 5.1% | 4.6% |
