Berry’s Paradox
这个应该怎么翻译？“贝瑞悖论”不是那么顺口，为了看起来诱人一点就把它称为“莓悖论”好了。
今天又看到有人在讨论这个问题：
定理：所有的数都可以用 20 个以内的汉字表达（比如 25852016738884976640000 可以表达为“二十三的阶乘”， 100000000000000000000000 可以表达为“一后面二十三个零”）
证明：反证，假设存在不能用 20 个以内的汉字表达的数，则必有一个最小的不能用 20 个以内的汉字表达的数，而这个数已经用“最小的不能用 20 个以内的汉字表达的数”表达出来了，矛盾。
当然这里的“数”应当限定为自然数，这个不是本质问题。至于本质问题是什么，我纠结了一下午也没想明白；有人说是罗素悖论的变形，不过我觉得跟罗素悖论还不太一样，因为这里不存在一个自我包含的东西。于是只好求助了伟大的维基百科。
大概研究了一下这个页面和它的一个参考文献，就我的理解，基本上问题是这样的：“表达”这个词的含义是不明确的/自我指涉的。用自然语言表达一件事情，首先需要限定语境，也就是约定俗成的背景知识。例如，“一百四十三”可以认为是一个所有人都认识的表达，而“本站IP的最后一段”就不能取得类似的认同。“π的第10^100至第10^101位数”介于两者之间，因为它表达了一个客观确定的东西，但人们却不知道它是多少。
那么，在自然语言中，“表达”就可以分为不同的层面，我们称之为{表达0, 表达1, 表达2, …}。不能用二十个汉字表达0的数，可能可以用20个汉字表达1。当然，你可以限制定理中所说的“表达”是哪个层面上的。但是我们这样重写一下这个定理及其证明就会发现问题：
定理：所有的数都可以用 20 个以内的汉字表达i（比如 25852016738884976640000 可以表达i为“二十三的阶乘”， 100000000000000000000000 可以表达i为“一后面二十三个零”）
证明：反证，假设存在不能用 20 个以内的汉字表达i的数，则必有一个最小的不能用 20 个以内的汉字表达i的数，而这个数已经用“最小的不能用 20 个以内的汉字表达i的数”表达j出来了，矛盾。
发现问题了么？几乎所有的“表达”都可以换成“表达i”，但唯独最后一个“表达”不能换成“表达i”。为什么呢？因为表达j应用了表达i所生成的知识，它必须处于表达i的外围。如果 i=j, 那么就犯了循环论证错误，和“一个自然数被称为奇数当且仅当它相邻的自然数不是奇数”一样荒谬。而如果 i≠j, 那么这个所谓的“证明”过程是推不出矛盾来的，“定理”也并不成立。
如何在没有卡牌的情况下玩三国杀
考虑这样一个问题：有两个无聊的人想玩三国杀，但是没有卡牌，他们彼此并不信任对方（我说我摸到了连弩 对面非要说他手上已经有两张连弩了..）。有没有可能仅通过面对面说话来实现扑克牌协议，并且保证游戏的公正性呢？
扑克牌的信息隐蔽性带来了很多与密码学协议相关的有趣问题。两个象棋大师可以在洗澡间一边冲澡一边大喊“炮八平五”、“马八进七”，一对围棋情侣可以在床上一边亲热一边呻吟“点三三”、“拆二”。等事情办完了，一盘精彩的棋局或许也就结束了。这些棋类游戏之所以可以“盲下”，就是因为在棋类游戏中，双方的局面信息都是完全公开的。不过，打牌就是另外一码事了。你说你出方片7，我怎么知道你有一个方片7？事先发牌？那谁来负责发牌呢？怎样发牌呢？难道我告诉你“发到你手中的是两张3一张5一张8一张9”？这样一看，两个人“盲打扑克牌”似乎是不可能的了，要么需要借助道具，要么需要第三者的帮助。不过，运用密码学知识，我们可以设计一套扑克牌协议，该协议能够实现随机的、隐蔽的、公平的发牌，并且不需要其它东西的帮助。我们以一手五张牌为例，说明如何实现“两人各摸五张牌”的程序。
我们首先来看这里面的一个趣题:
“A、B两人分别在两座岛上。B生病了，A有B所需要的药。C有一艘小船和一个可以上锁的箱子。C愿意在A和B之间运东西，但东西只能放在箱子里。只要箱子没被上锁，C都会偷走箱子里的东西，不管箱子里有什么。如果A和B各自有一把锁和只能开自己那把锁的钥匙，A应该如何把东西安全递交给B？
答案：A把药放进箱子，用自己的锁把箱子锁上。B拿到箱子后，再在箱子上加一把自己的锁。箱子运回A后，A取下自己的锁。箱子再运到B手中时，B取下自己的锁，获得药物。”
我们的基本思路就是这样。不妨用数字1到54来表示54张牌。发牌前，A在每个数字前附着一个随机字符串前缀，然后给每个字符串都加上一把锁，把54张加密的扑克牌传给B。B收到了扑克牌一看，傻了，这些牌他一张也不认识，每张牌上面都有A的锁。B从里面挑选5张牌出来。他自己不知道这5张牌是什么，但是他也不能让A知道，于是他在这5张牌上再各加一把锁，传给A。A可以解开自己当初上的那把锁，但牌上还有一把锁，A拿它没办法，只能原封不动地传回去。B把剩下的锁解开，得到自己的5张牌。然后呢，B手上不是还剩了49张牌吗？B从中随便挑5张出来给A，由A解开上面的锁，得到A的5张牌。
听起来很完美，但实现起来并不简单。 Read more
零知识证明
战争中你被俘了，敌人拷问你情报。你是这么想的：如果我把情报都告诉他们，他们就会认为我没有价值了，就会杀了我省粮食，但如果我死活不说，他们也会认为我没有价值而杀了我。怎样才能做到既让他们确信我知道情报，但又一丁点情报也不泄露呢？
这的确是一个令人纠结的问题，但阿里巴巴想了一个好办法，当强盗向他拷问打开山洞石门的咒语时，他对强盗说：“你们离我一箭之地，用弓箭指着我，你们举起右手我就念咒语打开石门，举起左手我就念咒语关上石门，如果我做不到或逃跑，你们就用弓箭射死我。”
强盗们当然会同意，因为这个方案不仅对他们没有任何损失，而且还能帮助他们搞清楚阿里巴巴到底是否知道咒语这个问题。阿里巴巴也没损失，因为处于一箭之地的强盗听不到他念的咒语，不必担心泄露了秘密，而且他确信自己的咒语有效，也不会发生被射死的杯具。
强盗举起了右手，只见阿里巴巴的嘴动了几下，石门果真打开了，强盗举起了左手，阿里巴巴的嘴动了几下后石门又关上了。强盗还是有点不信，说不准这是巧合呢，他们不断地换着节奏举右手举左手，石门跟着他们的节奏开开关关，最后强盗们想，如果还认为这只是巧合，自己未免是个傻瓜，那还是相信了阿里巴巴吧。
“零知识证明”说的是示证者向验证者表明他知道某种秘密，不仅能使验证者完全确信他的确知道这个秘密，同时还保证一丁点秘密也不泄露给验证者。阿里巴巴的这个方案，就是认证理论“零知识证明”的一个重要协议。
除了被俘后如何靠情报保命这个问题，零知识证明在社会领域中还有着很多应用场合。例如你证明了一个世界级的数学难题，但在发表出来之前，总是要找个泰斗级的数学家审稿吧，于是你将证明过程发给了他，他看懂后却动了歪心思，他把你的稿子压住，把你的证明用自己的名义发表，他名利双收，你郁闷至死，你去告他也没用，因为学术界更相信的是这位泰斗，而不是你这个无名之辈。
椅子的稳定性问题
4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，问是否一定可以找到一个位置使得四条腿同时着地而放稳？
这个问题我在初中的时候就听赵一夫跟我说起过，当时觉得这问题太诡异了，怎么下手啊。今天再一次见到仍然觉得无从下手，看了答案之后顿觉奇妙。答案是肯定的，一定可以找到一个位置使得椅子放稳！
题目的条件先解释一下，4条腿长度相等实际上告诉了我们这4条腿的顶点是共面的。看了网友的回复，确实题目里有隐含条件需要明确地写出来：（1）椅子是正方形的...（2）四条腿的长度相对于地面的起伏来说足够长...(3)只要四条腿同时着地就称之为放稳（即认为地面的摩擦系数无穷大）...（4）起伏不平的地面我们要把它理解成是一个连续的二元函数。
由哥白尼原理推导人类文明灭亡时间
/*这篇文章的主要内容由热学欧阳颀老师所讲 出自某期New York Times*/
下面要进行的一段推导，将十分诡异，可能有点莫名其妙的感觉，不过还是请完整看下去~
首先说一下什么是哥白尼原理。
Copernican principle:
The best theories are those that do not require the observer to live in a special place in the universe or at a special time in history in order to be true.
也就是说，一个好的理论必须满足，我们既不在宇宙中的一个特殊位置，也不处在一个特殊的时间。这个原理我想大家都可以承认吧。
为了热身，我们先推导一下柏林墙倒塌的时间。
柏林墙于1961年建立，而原文章作者Dr. Gott偶然地于1969年去了一趟柏林墙，此时柏林墙已经存在了8年。
上图中，第一行整体表示柏林墙从建立到最终倒塌的整个生命历程。其中中间50%被染成紫色，这个50%是作者自己设定的，他将给出一个时间区间，而柏林墙倒塌的时间在这个区间里面的概率为50%。
根据哥白尼原理，作者访问柏林墙的这个事件是完全随机的，它落在上图第一条线段上任何一个点的概率是均匀分布的，因此这个点落在紫色区域的概率是50%，也就是说，他去访问柏林墙的时间点处在柏林墙整个生命历程的25%~75%之间的概率是50%。
若他访问的时刻位于第二条直线上的Now位置，也就是说，处于柏林墙生命历程的25%处，那么由此推算，柏林墙的寿命将还有24年（8年占25%，则剩下75%代表24年）。
若他访问的时刻位于第三条直线上的Now位置，也就是说，处于柏林墙生命历程的75%处，那么可以算出，柏林墙的剩余寿命将只有8/3年（8年占了75%，剩下的25%只有8/3年）。
因此，他访问的时刻位于紫色区域时，推算出的柏林墙剩余寿命是在8/3年~24年之间的，因此他声称，柏林墙在未来8/3~24年内倒塌的概率是50%。
当然他也可以把一开始的概率设置成60%或者其他数字，这样将推算出来另一个时间区间，柏林墙生命历程终止于这个新时间区间的概率将为60%。
最终，柏林墙于1989年倒塌。其实，作者写这篇文章的时候已经是90年代了...
下面，他又用同样的方法，给出了人类文明灭亡时间的推算。
