那天和同学一起讨论时，发现了一个很有意思的东西：
圆的周长公式：C=2*π*R
圆的面积公式：S=π*R^2
这两个公式间，有一个巧妙的联系：对面积公式进行求导即得到周长公式，即dS/dR=C.
球的表面积公式：S=4*π*R^2
球的体积公式：V=4/3*π*R^3
这两个公式间，同样也存在着类似的关系：对体积公式求导即得到表面积公式，即dV/dR=S!!!
我觉得挺有意思的，就上网查了一下有关4维的情形：
“超球”（4维球）的“表体积”公式：V=2*π^2*R^3
“超球”的“超体积”公式：W=1/2*π^2*R^4
(这组公式从网上查的，可能并不很权威，欢迎指出错误之处)
/*update:当时不太明白，现在学了积分了，就一目了然了。就是一圈一圈积分。*/

//我在《皇帝新脑》中看到这个问题，死活看不懂。。。可是自从看了matrix67的这个讲解，居然2分钟就恍然大悟，真是太强了！

The Halting Problem是问，输入一段程序代码和一个针对此程序的输入，能否编程判断运行这个程序后程序是否会终止。

这个问题的答案是否定的。也就是说，不可能有一种算法可以正确判断一个指定的程序运行后，给予指定的输入，程序最后出不出得来。换句话说，The Halting Problem是一个不可解问题。

虽然这感觉似乎不可能，但在严格的证明下谁也无法发言反对。

证明过程非常简单，假设The Halting Problem是有解的，并且已经用程序实现了，那么我们只需要再编写一个程序Program Bug，就会发现存在矛盾。 Read the rest of this entry »

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你想测试一下你的反应速度是灵敏还是迟钝么？你想看一看你的聪明程度是否很高么？那么，就请做一下下面这一套提吧，题目很简单，记住，一定要按照顺序作，否则就别做。最后一道题是最考验人的一道题，呵呵，要大约估计一下做这道题的时间。请再作出一道题之前不要看答案，否则没有效果。

1．把这个图形分成全等的两份。 Read the rest of this entry »

哥德尔定理是数理逻辑中的一个定理，1931年奥地利逻辑、数学家克尔特.哥德尔(Kurt Godel)发现并证明的，这个定理彻底粉碎了希尔伯特的形式主义理想。为理解这个定理及其意义，需要相当的数理逻辑和集合论知识。要把这些预备知识都在这里整理出来，工作太繁重了，这也就是我一直没敢动手写这篇东西的原因之一。这里仍然也不打算详细介绍这些东西，只是在必要的时候给些简单的说明，要想更深刻地理解，有兴趣的朋友可以自学相关课程。

哥德尔定理其实是两个定理，其中哥德尔第一不完备性定理是最重要、也是误解最多的，从这一定理的版本众多就可以看出。如：
“如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾，则T必定是不完备的。”
“任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以在其中定义自然数的概念，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。”
“任何一个足够强的一致公设系统,必定是不完备的”

第二不完备性定理是第一定理的一个推论：“任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性”

如果没有相关的知识基础，要理解这个定理真的是比较难。至于证明就更不容易看懂了。我偷点懒，跳过这些直接介绍其意义吧。 Read the rest of this entry »

我首先要证明，面积最大的图形满足一个性质：一条平分周长的直线（暂且把它叫做周长平分线），一定也平分面积。因为，如果不平分面积的话，那么我总可以把面积较大的那块翻到另一边去，使得周长不变，而面积增大（如左图，红色曲线围成的面积大于蓝色曲线）。好了，接下来，我要再证明面积最大的图形满足第二条性质：周长平分线与曲线的两个交点和曲线上任意一点构成的三角形，必然是直角三角形。因为，如果它不是直角三角形，我可以把他拉伸或压缩一下，使它成为直角三角形，这样新三角形的面积大于原三角形的面积（证明省略，主要使用S=absinθ/2），而图形其他部分面积不变，这样面积就扩大了。因此，面积最大的图形满足上述两条性质，我们就不难推出它是圆了。