最小作用量原理与物理之美3——费马原理

对于几何光学中的许许多多的定律，费马找到了一种统一的描述，现在被称为费马原理，被认为是最小作用量原理在几何光学中的特例，是最小作用量原理最早的成功例子。上一篇文章并没有真正写最小作用量原理，写的仅仅是一些简单的极值问题（千万不要认为那就是最小作用量原理），而本文与下一篇文章则将写最小作用量原理在几何光学与动力学的特例，并给出比较精确的数学公式（这是为了后面的横向比较和更深刻地理解最小作用量原理），对微积分头痛的人可以跳过公式只看文字。

费马原理是这么说的：过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。
其中光程定义为该介质的折射率乘以路程。写成数学的形式就是：

其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。为了理解上式的含义，我们需要和导数做一个类比。我们对一个函数求导数，如果导数值等于零，那么可以判断出原函数在该点处会取得极小值、极大值或恒定值。上面的式子和导数有一个显著的不同，导数研究的是以字母为自变量的函数的极值，而上式想求的则是以一个函数（位置随时间变化的函数）为自变量的泛函的极值。我们把每一条路径看作是位置随时间变化的函数，把这个函数看作自变量，我们要求的则是各条路径中光程取极值的那条路径；就像我们求导求的是各个x中使得y取极值的那个点。函数求极值可以用导数，泛函求极值则可以用变分法，即δS=0（其中S是一个泛函）。大家就把δ理解成和导数相类似的东西就可以了。 Read more

最小作用量原理与物理之美2——自然中无处不在的极值

观察自然界的各种现象，会发现极值往往出现。知道这一点非常重要，在最小作用量被明确提出之前，人们已经研究了很多极值问题。我们先来看一些比较简单的极值问题，会对最小作用量原理有一个更深刻的认识，也能从中看出最小作用量原理的起源与历史。

物理定律都有两种表述形式：一种是普通的我们高中学的形式，用力、加速度、电场强度等概念描述的物理定律；另一种是极值的形式，在一个物理过程中某个量取得极值。这两种表述形式是等价的。

先看一个最简单的例子，如图，两个电阻R1、R2并联，输入的电流为I，求I1、I2是多少。
这个问题初中生都会做，用并联时电压相等加上欧姆定律就可以作了。可以容易的求得

现在我们换一种方法：I1、I2的取值使得热功率最小。 Read more

最小作用量原理与物理之美1——导言

 爱因斯坦说过：“我想知道上帝是如何设计这个世界的。对这个或那个现象、这个或那个元素的谱我不感兴趣。我想知道的是他的思想，其他的都只是细节问题。”近代物理隐隐约约的表明，我们人类似乎已经接近于上帝的终极设计了，最小作用量原理、对称与守恒可能就是上帝设计世界的原则。最小作用量原理、对称与守恒不同于F=ma、F=GMm/r^2、F=kx、F=kQq/r^2这类的普通物理定律，他是物理定律的定律，是一切其他普通物理定律的基础。

最小作用量原理是一个令人神往的课题，费恩曼上高中时听到他的老师巴德给他讲的时候就被深深震撼了，我也是一样。当我第一次从费恩曼的书中看到这个原理时，真是有种无法言表的喜悦，好像是我窥见了上帝设计世界的图纸一般。后来我就如饥似渴的学习者有关引人入胜的最小作用量原理的知识，同时越来越被这伟大的原理所吸引。

最小作用量原理这个伟大的思想应该被优秀的中国学生所充分了解，可是据我所知我们班以前除我之外没有人听说过它，在我的积极推广之后才有一些人知道了这么个东西，而利用这个周六的一个交流机会我才把最小作用量原理讲给全班同学听了。从个人角度来说，我认为人活在世上不知道最小作用量原理是一大憾事；从民族的角度来说，一个民族不具备先进的物理思想是很难在科学上引领全世界的，也就是生产力的巨大飞跃总是先发生在外国，我们跟着学而已。古中国文化昌盛，可是却不具备完整科学的思想，看看古代的科技类的书才有多么点，而其中技术类和理论类的比值又是多么高。因此古中国的科技并没有什么突破，蒸汽机、发电机等革命性的发明就不属于中国。而西方从欧几里得、毕达哥拉斯开始就试图建立科学的理论体系，后来牛顿又为科学界作出了一个建立理论体系的表率。西方的科学重思想、重理论、重基础研究，等这些成熟了，技术的飞跃就指日可待了。因此物理思想是非常重要的，重要性远远超过知识本身，尤其是最小作用量原理这样深刻、神奇的物理思想，更应该被我们优秀的中国中学生所掌握。因此，我就在这里担当一个传播者的角色，把这一思想传播给本博客的读者们。 Read more

希望大家参加LHC@HOME

LHC(the Large Hadron Collider)中文名称为大型强子对撞机，位于日内瓦附近的欧洲粒子物理研究所(CERN)，是所有粒子物理学家翘首以盼的一个项目。原本计划于2007年完工，但由于一些设计失误出现的问题不得不延期，现在还没有竣工。但是它仍然是物理学2008年最值得期待的项目之一，因为LHC的能量足以让我们亲手捕捉到几十年来一直想抓到的“上帝的粒子”——希格斯子，以解释质量的来源，验证标准粒子模型的最重要的预言。同时，LHC也是比较新型的一种加速器，据我了解，以前的加速器加速的往往是电子、反电子，而LHC，像它的名字中表明的一样，加速的是强子（质子就属于强子），新的技术将会带来许多新的发现。不仅仅是验证希格斯子的存在，许许多多的理论将在这里得到验证，许许多多的新发现将在这里诞生。

LHC@HOME主要由欧洲核子研究中心发起，是在家中帮助LHC进行计算的一个项目。大型强子对撞机的稳定运行需要大量的计算。LHC@home 的 SixTrack 程序能够模拟粒子在大型强子对撞机中运行从而研究其稳定性。它计算校检对撞机中运行的高能粒子束的长期稳定性所必需的数据，使项目负责人能够洞察对撞机将来的运行情况。 Read more

宇宙中神秘的大数

物理学中有很多常数，有一些是带有量纲的，比如光速c，万有引力常数G，电子的电荷量e……还有一部分则是无量纲的常数，比如精细结构常数α(α=e²/(2*ε₀*h*c≈1/137。关于其更详细的解释，请看这里)。我们感兴趣的是后者，因为后者的数量是不随单位的任意选取而变化的。比如说我们把米定义为现在的米的1000倍，那么光速c的大小就变了，他在数值上就成了原来的1/1000；但是无量纲的数，比如精细结构常数α，他的数值大小并不会因此而变化。可以说，无量纲的常数实际上是宇宙的某种性质。

关于几个无量纲的常数，存在着某种神秘的关系。
万有引力耦合常数是c₁=G*m_p²/c=5*10^-39
质子和电子间的静电力与万有引力之比是 c₂=(e²)/(G*m_p*m_e)=2*10³⁹
宇宙的年龄除以光穿过一个经典电子需要的时间是 c₃=(m_e*c³)/(e²*H)=7*10³⁹
宇宙的总质量除以质子的质量是 c₄=M/m_p=10⁷⁸
奇妙的是，这些数字都与10^39有关！近似的有 c₁^-1=c₂=c₃=c₄^1/2=10³⁹

这恐怕不是个巧合，而是宇宙的设计者别有用心的构思。在很多人心目中（包括我），这些数之间的关系应该能从某种理论中推导出来。著名物理学家狄拉克曾提出过一个所谓的大数假说：自然界中出现的没有量纲的大数都是彼此关联的。设想一个包容一切的理论，它应该把这些神奇的数全都包含进去，可是很难想象有什么理论能直接推导出这些这么大的数（他们在很多情况下直接被认为是无穷大）。
这些大数间到底为什么存在着这种带有神秘色彩的关联呢？

有趣的堵火车悖论

当年爱因斯坦(Albert Einstein)提出令人费解的狭义相对论之后，有很多人提出了各种各样的悖论，例如孪生子悖论，在例如今天我要说的堵火车悖论（这个名字是我自己叫的，不知道其他人叫它什么）。这个问题是这个样子的：

未来的某一天，科技高度发达，火车行进速度飞快，足以产生明显的相对论效应，人们也都精通相对论知识。一天，两个盗贼得知有一列载满富翁的火车将通过他们的地盘：一个中间有隧道的山坡，火车将从隧道穿过。已知隧道的长度恰好和火车静止时的长度相等。两个盗贼这样盘算：根据动尺缩短效应，我以我自己为参考系，火车将相对于我高度运动，长度将变短，因此我们可以两个人分别站在隧道的一段，等到火车车身完全在隧道内的时候，两人同时用一块石头堵住隧道两端，把火车封在里面，这样就可以下去抢财物了。富翁们不知从那里得知了倒贼要行动的消息，哈哈大笑，想到：他们不可能成功，根据动尺缩短效应，我以我在的火车为参考系，是山和隧道在高速运动，缩短的应该是隧道，因此我们的火车不可能在某个时刻完全处于隧道内而被封在里面。看来，他们两方说的都有道理，那么问题是：火车究竟能不能被封在隧道内呢？ Read more