一天，我拿出两个大学（P大和T大）的统计数据开始研究。“物理学院，P大男女比例大于T大；数学科学学院，P大男女比例又是大于T大...哇，怎么所有专业P大的男女比例都高于T大啊...那还犹豫什么呢，我肯定报T大了！”正当我刚刚心意已定的时候，突然看到了统计数据的最后一行：P大的总体男女比例低于T大！“什么？！有没有搞错？怎么可能P大的所有专业男女比例都高于T大，但是整体男女比例却低于T大了呢？！肯定是哪里算错了吧...”于是我拿出计算器狂敲，却发现没有任何一个计算错了的数据，这种情况真的可能发生吗？

多说无益，请看下面编造出来的一份男女比例数据：（其中假设两所大学都只有物院和外院两个专业）

物院的数据：

外院的数据：

学校整体数据（即上述两个专业人数之和）：

数据可不会是骗人的，不信可以自己动手验算一下，真的出现了这种违背常理的情况！这种现象被称为“辛普森悖论”，虽然这么叫，但其实这不是个真正的悖论，它内部没有包含逻辑上的矛盾，只是违背了人们的常理。

可能有些人还是一头雾水，虽然数据是如此，没错，可是还是不能理解到底发生了什么使得结论如此古怪。让你构造出来一个类似的数据，恐怕你也很难直接想得出来吧！人们对几何图形的想象力总是好于对数字和字母，因此为了更直观地表现出辛普森悖论，我们看下面一副向量图：

图中，黑色的线代表P大数据；红色的线代表T大的数据。Ap点的横坐标为P大外院女生人数，纵坐标为P大外院男生人数；Bp点的横纵坐标则分别为P大总女生人数和男生人数。At和Bt点的意义与之相对应。

设坐标原点为O，则OAp的斜率表示的就是P大外院的男女比例，ApBp表示的是P大物院的男女比例，OBp表示的则是P大总男女比例；T大的各线段斜率意义与之对应。

如此一来，一切都变得清晰起来了！辛普森悖论反映在这张图上，就成了一个显然的事实：在P大的外院、物院两个向量的斜率分别大于T大的两个向量的斜率的条件下，总人数向量的斜率当然不一定哪个大呀！根据这个直观的理解，你也可以随意编造能产生辛普森悖论的数据了吧！

知道了辛普森悖论这一事实之后，我们以后对待统计数据就要更加小心了。 在数学中经常会出现这种出乎人们意料的惊人事实，所以还是一定要学好数学啊~！

（原载于果壳网）

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但是，其实这个证明里面隐藏着一个致命的逻辑错误。

这要从如何定义一个概念说起。在逻辑学上，对于定义有一条不起眼的要求，那就是给出定义以后要证明其存在性。比如说我定义质数为除了1和它本身没有其他正约数的正整数，从理论上来说我得证明这种数是存在的，我们可以举个例子来证明其存在性，比如说2就是质数。这可能和我们这么多年的学习经验不符，我们学习数学概念的时候可从来没有见过什么存在性证明啊...我们学的大多数概念的存在性的证明都是比较显然（举个例子就可以了），因此在课本里从来不出现，但是这绝不意味着存在性证明没有用，尤其在抠逻辑漏洞的时候。

比如说吧，我要定义一种数叫做“蛋疼数”，他被定义为“大于2的偶质数”，显然蛋疼数就不存在。然后假如我基于蛋疼数演绎出来了一整套蛋疼理论，看上去完美无缺而且非常漂亮，可是回过头来一看，哎呀，蛋疼数居然不存在，那整个理论体系的根基就倒塌了。

再比如说，我要定义一种数叫做“牛逼数”，他被定义为“大于4的不能写成两个质数之和的偶数”，很明显牛逼数就是违反哥德巴赫猜想的数...这样，牛逼数的存在性证明实际上就是找到哥德巴赫猜想的反例，这可实在不是一件很显然的事情...

好了，回到上帝是不是万能的问题上来。这里，实际上我们用到了一个概念叫做“上帝搬不动的石头”，我们有对它的存在性给出证明吗？如果它是不存在的（也就是说它存在的话会跟现有数学体系有矛盾），那么标题这个问题实际上就相当于在问“上帝能造出大于2的偶素数吗”，没有任何意义。我们总不至于把“能造出两个互相矛盾的东西”作为“万能”的一个必要条件吧，所以不存在的东西上帝当然造不出来，这不能算他不万能。。。这样一来，如果你认为“上帝搬不动的石头”是存在的，那么其实你已经隐含了一个假设那就是上帝不是万能的了，那么整个逻辑就是这样的：你假设上帝不是万能的->存在上帝搬不动的石头->上帝能造出来他搬不动的石头->有种东西是上帝搬不动的->上帝不是万能的。。。这仅仅说明，上帝不是万能的这个命题如果成立，在这个情景下不会导致矛盾，并不能说明什么更深刻的东西。所以说，上帝是不是万能的，通过这个这个问题是证明不了的。。。

你想证明上帝不万能，没这么简单呢！

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今天又看到有人在讨论这个问题：

定理：所有的数都可以用 20 个以内的汉字表达（比如 25852016738884976640000 可以表达为“二十三的阶乘”， 100000000000000000000000 可以表达为“一后面二十三个零”）
证明：反证，假设存在不能用 20 个以内的汉字表达的数，则必有一个最小的不能用 20 个以内的汉字表达的数，而这个数已经用“最小的不能用 20 个以内的汉字表达的数”表达出来了，矛盾。

当然这里的“数”应当限定为自然数，这个不是本质问题。至于本质问题是什么，我纠结了一下午也没想明白；有人说是罗素悖论的变形，不过我觉得跟罗素悖论还不太一样，因为这里不存在一个自我包含的东西。于是只好求助了伟大的维基百科。

大概研究了一下这个页面和它的一个参考文献，就我的理解，基本上问题是这样的：“表达”这个词的含义是不明确的/自我指涉的。用自然语言表达一件事情，首先需要限定语境，也就是约定俗成的背景知识。例如，“一百四十三”可以认为是一个所有人都认识的表达，而“本站IP的最后一段”就不能取得类似的认同。“π的第10^100至第10^101位数”介于两者之间，因为它表达了一个客观确定的东西，但人们却不知道它是多少。

那么，在自然语言中，“表达”就可以分为不同的层面，我们称之为{表达₀, 表达₁, 表达₂, …}。不能用二十个汉字表达₀的数，可能可以用20个汉字表达₁。当然，你可以限制定理中所说的“表达”是哪个层面上的。但是我们这样重写一下这个定理及其证明就会发现问题：

定理：所有的数都可以用 20 个以内的汉字表达_i（比如 25852016738884976640000 可以表达_i为“二十三的阶乘”， 100000000000000000000000 可以表达_i为“一后面二十三个零”）
证明：反证，假设存在不能用 20 个以内的汉字表达_i的数，则必有一个最小的不能用 20 个以内的汉字表达_i的数，而这个数已经用“最小的不能用 20 个以内的汉字表达_i的数”表达_j出来了，矛盾。

发现问题了么？几乎所有的“表达”都可以换成“表达_i”，但唯独最后一个“表达”不能换成“表达_i”。为什么呢？因为表达_j应用了表达_i所生成的知识，它必须处于表达_i的外围。如果 i=j, 那么就犯了循环论证错误，和“一个自然数被称为奇数当且仅当它相邻的自然数不是奇数”一样荒谬。而如果 i≠j, 那么这个所谓的“证明”过程是推不出矛盾来的，“定理”也并不成立。

因此，这个悖论实际上是一个自然语言的二义性问题（还有一个更简单的版本：Interesting number paradox），而不是在逻辑上出了问题。如果我们把这个命题用形式逻辑写出来，就会发现它并不是一个悖论。以下论证过程中我用了参考文献中的记号，但是过程略有修改。

首先定义函数 meaning(x)。对于一个短语 x, meaning(x) 定义为 x 所“表示”的数。这样，我们就把“短语”和数之间建立起了函数关系。当然，有些短语可能并不表示一个数，比如“张三偷了李四家的白菜”，因此 meaning(x) 不是全函数。另外，有些短语可能表示多个数，比如“素数”，但是在这种情况下我们让 meaning(x) 没有定义，而不是把它定义为多值函数。

然后定义函数 length(x)。length(x) 就是短语 x 的长度。这里以字还是字节还是别的什么为准都没有关系，关键是 1. 它是全函数，也就是所有的短语都有长度；2. 长度为给定值的短语只有有限个。

最后是关键的函数 Berry(n, meaning, length) = 最小的 m, 使得对于所有 length(x)<n 的短语 x, m > meaning(x) .

看起来有点绕，其实说白了就是“最小的不能用 n 个字表达的数”。但是注意，这里的 meaning 是作为一个参数传给 Berry 的，也就是说“表达”这个词的含义是因人而异的。当然，有极端情况就是 n 比较小的时候 Berry(n, meaning, length) 是没有定义的，不过这个不影响我们后边的推论。你可以认为 20 个字是足够多的，如果还不放心的话可以改成 100 个字。

这样，我们的“证明”过程就可以写成：假设命题不成立，那么必然存在 Berry(100, meaning, length), 记为 m. 那么令 x= “Berry(100, meaning, length)”, 我们有 m=meaning(x) 和 length(x)<100. 矛盾。

这里问题就很显然了。meaning(“Berry(100, meaning, length)”) 被定义为了 Berry(100, meaning, length) 的值。Berry 函数的计算依赖于 meaning 函数，而 meaning 函数的计算又依赖于 Berry 函数，这是明显的循环论证。要解决这个问题，只能定义：

meaning₁(“Berry(100, meaning₀, length)”) = Berry(100, meaning₀, length).

这就回到了本文前半部分用自然语言描述的版本。

//转载自http://blog.forcey.net/?p=250

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首先假设一艘完全浸没在海中的潜水艇，在相对海水静止时能不升不降地正好保持平衡，然后再假设它在与海面平行的方向上以接近光速行进。基于物体长度会在运动方向上收缩的相对论效应，在海面上固定船只上相对海水静止的观察者看来，潜水艇本身会收缩，密度会变大，并最终下沉。但潜水艇上的船员们看到的却是飞速向后的海水在收缩，密度在变大，他们会得出结论认为，由于海水密度变大后产生更大浮力，潜艇将漂浮而上。按照相对论，两种看法似乎都没有错，潜艇到底是沉或浮的悖论由此而生。

这个悖论是近代物理课上老师给我们介绍的，但是老师对它的解释非常含糊其辞..我怀疑他自己也没弄明白..他的课件上是这样讲的：

巴西圣保罗州立大学的科学家马察斯于2003年宣布彻底破解了这个悖论。他在美国《物理评论Ｄ》杂志上发表的研究结论认为，那艘潜水艇最终将沉入水底。

马察斯指出，“潜水艇悖论”之所以让人迷惑，是因为提出这个悖论时没有考虑海水重力场对潜艇的作用。在不同参考系下，相对海水静止的观察者和潜艇船员所处的重力场并不相同。他通过严密的数学推理发现，从潜艇船员的角度来看，潜艇以接近光速运动过程中受到的有效重力，实际上比潜艇相对海水静止时要大。这一重力将超过由于海水密度变大而产生的浮力，最终导致潜艇下沉。“潜水艇悖论”从一个侧面展示了相对论的神奇。正如马察斯在论文中指出的，虽然爱因斯坦相对论提出已近100年，但到目前为止，它“居然仍有本事给我们制造惊奇”。

巴西圣保罗州立大学的科学家马察斯于2003年宣布彻底破解了这个悖论。他在美国《物理评论Ｄ》杂志上发表的研究结论认为，那艘潜水艇最终将沉入水底。马察斯指出，“潜水艇悖论”之所以让人迷惑，是因为提出这个悖论时没有考虑海水重力场对潜艇的作用。在不同参考系下，相对海水静止的观察者和潜艇船员所处的重力场并不相同。他通过严密的数学推理发现，从潜艇船员的角度来看，潜艇以接近光速运动过程中受到的有效重力，实际上比潜艇相对海水静止时要大。这一重力将超过由于海水密度变大而产生的浮力，最终导致潜艇下沉。“潜水艇悖论”从一个侧面展示了相对论的神奇。正如马察斯在论文中指出的，虽然爱因斯坦相对论提出已近100年，但到目前为止，它“居然仍有本事给我们制造惊奇”。

然后我又找到了那个科学家发表的论文，George E. A. Matsas，PHYSICAL REVIEW D 68, 027701 （2003）在这里可以花钱下载..http://prd.aps.org/abstract/PRD/v68/i2/e027701。估计我即使花钱下下来了也看不懂..各位网友有没有谁能给出更详细一点的定性解释啊？

正当我在玩三国杀OL玩的正High的时候，突然宿舍门被一脚踢开，几个黑西服黑墨镜的彪形大汉冲了进来，一顿拳打脚踢之后把我按到了地上，其中一个开口对我说道：“Eagle_Fantasy，你于2010年6月4日在Innernet上发表了不和谐文章，犯了十恶不赦的思想罪。你有权保持不沉默，但我们很快会让你沉默的。”

于是，我被天朝的思想警察带到了黑漆漆阴森森的监狱中，我一看，旁边还坐着我同学lbywsm。

党说：“你们两个人都犯了在天朝最罪大恶极的思想罪，证据确凿，我宣布党将于今年结束之前在你们意料之外的一天对你们处以绞刑。”说罢便转身离开。

我们俩瞬间便瘫坐到地上。

突然，我嘴角微微上扬。

lbywsm问道：“为啥冷笑？”

“我忽然发现，党这样宣判我们实际上是对我们开恩了，我们最终会被释放。”

“怎么讲？从今天到2012年12月31号之中的任何一天党都有可能处死我们，而我们是不知道究竟会是哪一天的，所以哪一天都会出乎我们意料之外啊..”

“你仔细想一下，假设我们顺利的活到了12月31日，党说要在今年结束之前处死我们，是不是我们就可以确定党要在12月31日那天处死我们了？这样的话不就在我们意料之中了吗？这就跟党说过的话矛盾了。于是，我们可以确信，党不会在31号处死我们。然后再往前推，如果我们活到了30号，而我们又可以确信党是不会在31号处死我们的，于是我们就知道党将在30号绞死我们，可是我们也预料到了这一点，于是党也不能在30号处死我们……”

“于是，如果继续往前推的话，也就是说，党不能在任何一天绞死我们，否则就自相矛盾了？”

“Exactly~!”

可是lbywsm还不放心，“可是党一定会按照他说过的话执行吗..？我的意思是，他真的说到做到？如果不是在我们意料之外他就不会行刑？”

“哈哈，这点你大可放心。党每年都说GDP增长会大于等于8%，你看他哪年没有做到？党说社会现在是和谐的，你看新闻中哪有不和谐？党会通过一切手段做到他曾经的承诺，比如GDP统计时注水，再比如和谐掉一切不和谐新闻。”

“哦..”

“如果你还不放心的话，我可以给你举个例子。我有一个好朋友Orz蒙太奇，他也是犯了思想最。但是由于党曾经感动于Orz蒙太奇写的诗，于是给了他实现自己最后愿望的机会，并且宣判：‘如果党实现了你这个愿望，那么将对你处以绞刑；否则的话将对你实施安乐死。那么请说出你最后的愿望吧。’这时，Orz蒙太奇想都没想就说出了他一生中最重要的愿望：‘我想被安乐死！’于是，党无论怎样做都会自相矛盾，最终无奈只能释放了他。”

“哈哈，这么说我们将会和Orz蒙太奇一样幸运了~”

就这样，一天过去了，什么也没有发生。

第二天过去了，还是什么也没有发生。

……

可是12月28号的时候，突然冲进来了几个黑西服黑墨镜的彪形大汉，把我们推向了绞刑架。

“怎么回事，根据严谨的逻辑推理，党是不能在任何一天处死我们的啊，你们难道要与自己说过的话自相矛盾吗？”我激动地大喊道。

党从容的说道：“不好意思Eagle_Fantasy，正是由于你是这么想的，所以，今天处死你恰恰是在你的意料之外，对吧？我们说到做到。”

当我还没有从严谨的逻辑推理中找出漏洞的时候，就已经永远的闭上了眼睛。

党又一次说到做到，丝毫没有自相矛盾。

天朝威武，我党威武~！

//向马丁加德纳致敬..

试想构造一个如右图所示的装置。一个绝缘的圆盘通过摩擦力可以完全忽略的轴承套在一个轴上，可以自由旋转。圆盘上，放着一个与之同轴的线圈，通过这个线圈的电流由同样是放在圆盘上的一个小电池提供。圆盘的边缘上固定着一些金属球，注意它们是和圆盘固连在一起的，这些小球每一个都带有一定的电量Q。现在初始条件为有电流通过，整个装置静止不动。

现设想，如果突然切断电源旁的一根导线导致电流变为0，整个圆盘会发生转动吗？电流减小，导致通过线圈的磁通量减少，而磁通量的变化会在空间中激发出感生电场，感生电场的方向为圆形，可以使全部带电的金属球受到圆盘边缘切向方向的力，从而产生一个净力矩导致整个圆盘转起来。然而，从另一个角度来分析，将得出截然相反的结论：因为切断电源的力大小可以忽略，对整个系统没有力矩的贡献，所以整个系统角动量守恒，圆盘仍然将保持不动（整个系统包括圆盘、金属球、线圈以及电源）！

为什么两种途径的分析会产生截然不同的结果呢？真实的物理情景到底是转还是不转呢？

高中时的我曾以为是要考虑线圈里电子的运动从而使得系统一开始就具有不为零的角动量，其实这显然是错误的，很容易发现其中的破绽，倘若使金属球带相反的电荷，整个圆盘最终将朝着另一个方向旋转，但是初始角动量还是原来的方向，所以明显不对。那究竟是怎么回事呢？

真正的原因是，电磁场具有角动量！高中时的我正是因为没有明白这件事情，所以才一直没有想通。初始状态时，有电流，因此空间中有电磁场，这电磁场就具有一定的角动量，末状态时电磁场消失，电磁场的角动量全部转化为机械角动量，因此圆盘旋转，角动量亦守恒。至此矛盾自然消失。我们刚刚学了一点点磁矢势的概念，因此对电磁场动量加深了理解，但是对于电磁场角动量如何计算还没有太深的研究，因此对上述分析也只能止步于定性分析了。

很显然，像角动量守恒这种原理是永远也不可能被打破的。一旦发现在某种物理过程中角动量似乎不守恒了，要做的事情非常简单，只要在原来的角动量表达式里面再加上一项新的项就可以了，总可以保证有某个角动量量纲的东西继续守恒，我们仍然称之为角动量即可。

这样的方程解起来是很简单的，因为最低下的x的指数是他本身，即它的指数是2，因此该方程等价于x^2=2，立刻解得x=√2。

但是，如果题目地形式稍微一变，变成这个样子：

用同样的方法你将会得出同样的答案x=√2。

现在问题来了，既然如此，那么表达式

到底等于几呢？2还是4？

这个数应该是等于2的。用一个很不严谨的方法来看一看：为了求出这个数的上界（这个词貌似用的不太合适），把这个数顶上的√2用更大的数2来替代，则整个表达式坍缩为2，所以结果是不可能大于2的。因此实际上第二个方程是无解的...

看来一旦涉及到了无穷，什么诡异的事情都有可能发生了。连这样基本的方法都能产生出曾根哎...

//好长时间不学无术了哎 为了不荒废这块土地更新一下...

//来自《最迷人的数学趣题》

这个音乐放在这里让大家下载听一听。

endless.mp3

感觉挺神奇的，这种音乐有个学名叫做Shepard tone（谢泼德音调?），维基百科有介绍见这里。《GEB》这本书上有个配图解释了为什么会是这个样子。

上图中大小表示音的强弱，看着确实是这么回事。音调最高的那一行音越来越弱，直到消失的时候最低的音逐渐从无到有逐渐加强并且升高...而且衔接处是听不出来有音调的突变的...

听着这种音乐，让人不得不联想起埃舍尔的画，一对比就会发现其实这种音乐和下面的画是一种同构：

偶然间从庞加莱（Poincaré）（又被翻译成彭加勒）的《科学与假设》的概率演算这一章看到了这个命题，他最早由贝特朗提出，故又叫做贝特朗悖论。这一问题有三种解答，答案分别是1/2、1/3和1/4，我怎么也想不清楚到底哪一种是对的，其他的为什么错了，请路过的大牛们帮忙看一看。

解法一：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。

解法二：由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。

解法三：弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。

这个问题的答案到底应该是多少呢？

顺便说一下，《科学与假设》里有一个观点我很认同，他觉得古典概型中概率的定义不严谨。定义：“若只有有限个不同的基本事件，且每个基本事件发生的可能性是均等的，则事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以基本事件总数。”可是，定义中出现的“可能性是均等的”如何判断？这是不是用概率来定义概率了？这样的定义不算循环定义么？

注：文中的三种解法及图片来自百度百科。

update:最近看了一些书和文章似乎对此问题有些明白了，感谢网友们的帮助！