给大家展示的第一幅画叫《天使与魔鬼》，是我见过的最强的艺术品。这不是一个普通的圆，而是一个非欧几何空间，最早是由庞加莱（Poincaré）（又被翻译成彭加勒）提出了这个模型（参看我的这篇文章）。而填充整个非欧几何空间的，居然是有着强烈反差的白色天使和黑色魔鬼，真是绝了！

下面这张仍然是借用非欧几何的图案：

下面这张更绝，在另一种非欧几何空间中，蝴蝶们身上的颜色居然形成了一个一个的圆！不得不说，没有任何其他人能够让非欧几何如此直观而又艺术。

下面贴出几个他最最出名的作品吧，应该有很多人虽然没听过埃舍尔的名字但是见过下面的画。
旋转的楼梯，永远也走不到顶峰：

循环的瀑布，水流无止境：

错位的楼梯，这梯子是怎么放的？这柱子是怎么放的？

以上三幅画，无一例外的是现实生活中不可能出现的情景。画中的每一个小部分却都是合情合理，组合起来就逾越了现实。这般天马行空的想象力，其实凡人所为？正是这样，他的画才前期遭排斥，后世受追捧。

下面一幅画，是两只手互相画：

为了纪念埃舍尔，Google主页上甚至曾经出现了这样一个Logo：

平面密铺及其变性也是埃舍尔的拿手好戏。平面密铺是直到20世纪才引起数学家关注的，它与群论有密切关系，实际应用也挺多，比如研究晶体材料。下面三幅画都是埃舍尔在平面密铺的基础上加入了自己神奇的想象力绘制出来的：

埃舍尔甚至对拓扑学也有所涉及，下面这幅画描绘的是一个青年站在走廊上欣赏画作，而他本身其实就在画作之中。埃舍尔对画作进行了拓扑变换，就像在橡皮膜上画的画拉伸过了一样，就形成了视觉冲击力巨大的此画：

最后展示一个拓扑学上的莫比乌斯带，这些可怜的蚂蚁正为人们阐释单侧曲面到底长什么模样：

如果我画的画能像埃舍尔那么漂亮该多好！

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拓扑学是一门新兴的学科，大概是从20世纪开始正式被人们所研究的。它和以往人们所研究的几何不同，以前人们关注的东西是几何图形或几何体的角度、长度、面积、体积等，而拓扑学则研究的则是经过一系列扭曲、拉伸、压缩等操作仍然不变的性质。比如说，一个篮球可以被我拉成一个橄榄球，尽管形状变了，可能体积、表面积都变了，但是有一些重要性质是没有变化的：有两个面（内表面和外表面），封闭等。这些都是拓扑学的性质，这些都属于拓扑学的范畴。大家都很熟悉莫比乌斯带吧，它也是拓扑学的典型研究对象。

回到正题上。今天我想说的是拓扑学中的克莱因瓶。这是一种奇怪的瓶子，他有这么几个重要的性质：只有一个面，没有棱，没有顶点。这么个东西是很难凭空想象的，所以下面放了几张图可以供大家想象。

克莱因瓶只有一个面这一性质与莫比乌斯带很像，设想一只蚂蚁在克莱因瓶上面爬，它可以通过一定的路径走到一开始的位置的“反面”（其实没有什么反面不反面的，就一个面）。而在球皮上的蚂蚁就不打行了，他怎么爬也不可能从外表面爬到内表面去（如果这只蚂蚁太牛了，有本事到第四维空间去，那它就能做到）。
这个性质就引起了我的一个疑问。如果我用高斯定理算电通量的时候，高斯面选的是个克莱因瓶（有点儿找事儿），应该怎样规定电场线穿出的方向呢？法向量会顺着表面移动到他的反方向！（见下面那个带箭头的克莱因瓶。）

下面考考你的想象力。如果拿刀沿着对称轴竖着把克莱因瓶一劈为二，会劈出两个什么东西呢？我可以先告诉你答案，是两个莫比乌斯带，能不能想象出来就是你的事儿了，我是悟了老半天才悟出来的。

再想象点有难度的拓扑学问题。如果把莫比乌斯带那样扭半圈算是转了一下粘起来后得到的，那么有没有人能只凭想象而不做实验告诉我，把莫比乌斯带沿中间剪开得到的纸带等效于转了几下？把转了两下粘起来得到的纸带从中间剪开，肯定得到两个纸带，他们是套在一起的还是分开的，各自转了几下呢？如果有谁能想象出来这些问题，那真是神人了。

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