就假设赌徒跟赌场玩的是赌大小的问题，输赢概率是严格的1/2。赌徒身上带着5元钱，每次下注1元。如果赌徒身上的钱在某个时刻输光了，那么赌徒就会离开赌场回家；如果赌徒连续赌了1000次都没有输光，赌徒在这个时刻就会停止赌博结算完毕回家去。如此一来，利用赌徒停止赌博两个边界条件的不对称性，随着赌徒增多，赌场就可以从中赚钱了~！

乍看似乎确实有道理，因为不仔细想的话会觉得赌徒输钱离开赌场的概率似乎确实比较大。但是如果写一个程序跑一跑看看赌场最终会赚多少钱，结果会出乎意料：赌场赚到的钱数将会在基本上以0为中心的一个范围内震荡，并不会随着赌徒人数增多而增多！

问题出在哪呢？其实这个结果也不算过于出乎意料。因为虽然赌徒输钱离开的概率是比较大的，但是他赔的钱就那么些；但是赌徒如果是赌了1000次才离开的，走的时候赚走的钱数可能相比而言是很多的。于是二者的作用是有可能恰好抵消的。如果你有耐心做详细的定量数学计算的话，其实是可以解析的给出这个问题的结果的，赌场赚到的钱数随赌徒人数怎么变化是可以精确算出来的。

但是还有一种很巧妙地思路可以一下子看出来，其实赌场从期望上来说就是不赚的！仔细想一下：一个赌徒离开赌场回家了然后又另外来了一个新赌徒来赌，和一直就是一个人在赌没有离开，有什么区别吗？没有区别！这就是问题的关键，只要看成是所有赌徒根本就没有离开赌场一直在赌，那么这问题就很清晰了：输赢概率1/2就意味着无论如何赌场也不会赚。之所以可以这么看，其原因就在于每一次赌博都是独立的，跟之前的输赢什么的没有丝毫关系。

但是问题又来了。不知道大家还记不记得随机游走的猫捉老鼠问题（参见这篇文章）。简单描述一下吧：一只猫一开始在数轴的x=1点上，x=0处有一只老鼠。猫是可以走动的，每一步在数轴上分别以二分之一的概率或朝着正方向或朝着负方向走1的距离。当猫到达0的位置时，猫就抓到老鼠了，游戏结束。问题是：猫最终在某个时刻捉到老鼠的概率是多大呢？这篇文章给出了一个非常巧妙地方法，得到了一个出乎意料的结论：猫捉住老鼠的概率是100%！

可以看出猫捉老鼠问题和赌徒的问题是极为相似的，如果把赌徒赌1000次就离开改为无穷大次，那么这两个问题就完全等价了。如果把1000真的改成无穷大，那么赌场似乎就一定会赚钱了：只盯着一个赌徒看，他只要进去了，要出来就只有1种可能性，那就是输掉了5元钱，而前面算出的猫100%捉到老鼠，就意味着赌徒只要进去了就100%的会输了钱出来。可是1000次相对于5来说已经基本上算是无穷大了啊，为什么赌场不赚呢？！把程序里的1000改成10000甚至100000再运行，发现结果仍然是赌场不赚。难道真实的无穷大和近似的无穷大差别这么大？！

后来我想到其实是可以用程序模拟真实的无穷大的，其实很简单，只要把原先的循环条件从for(i=0;i<1000;i++)改成while(1)就可以了。于是，令人吃惊的一幕出现了：程序根本就跑不出结果来，就在那里一直运行着。这时我终于明白问题的关键所在了：zhiqiang同学曾在这篇文章底下评论道：“猫要捉到老鼠的期望时间是无穷大的。”！！！于是，最终赌场确实会赚没错，只是，进去一个赌徒就有可能需要无穷长（真实的无穷长！）的时间才能出来，概率100%是没有用的，关键是有限的时间里有些赌徒是根本出不来的。。。于是，在有限长的生命里看到赌场赚钱是不可能的了。。。至此矛盾消失。

最终的结论就是：只要输赢概率是严格的1/2，赌徒采取前面所述的策略赌钱，赌场是赚不到钱的。但是，有句话说得好，赌场就是赚两种人的钱的：一是不懂概率的，另一种是拿着一个概率公式以为正确想进去验证验证试试的。。。哈哈。。。

我猜您也喜欢：

统计数据、相关性与因果关系

代数基本定理的一个最简单证明

最小作用量原理与物理之美4——力学

有趣的颜色错觉

埃舍尔的数学艺术

无觅

下面要进行的一段推导，将十分诡异，可能有点莫名其妙的感觉，不过还是请完整看下去~
首先说一下什么是哥白尼原理。

Copernican principle:
The best theories are those that do not require the observer to live in a special place in the universe or at a special time in history in order to be true.

也就是说，一个好的理论必须满足，我们既不在宇宙中的一个特殊位置，也不处在一个特殊的时间。这个原理我想大家都可以承认吧。

为了热身，我们先推导一下柏林墙倒塌的时间。

柏林墙于1961年建立，而原文章作者Dr. Gott偶然地于1969年去了一趟柏林墙，此时柏林墙已经存在了8年。

上图中，第一行整体表示柏林墙从建立到最终倒塌的整个生命历程。其中中间50%被染成紫色，这个50%是作者自己设定的，他将给出一个时间区间，而柏林墙倒塌的时间在这个区间里面的概率为50%。

根据哥白尼原理，作者访问柏林墙的这个事件是完全随机的，它落在上图第一条线段上任何一个点的概率是均匀分布的，因此这个点落在紫色区域的概率是50%，也就是说，他去访问柏林墙的时间点处在柏林墙整个生命历程的25%~75%之间的概率是50%。

若他访问的时刻位于第二条直线上的Now位置，也就是说，处于柏林墙生命历程的25%处，那么由此推算，柏林墙的寿命将还有24年（8年占25%，则剩下75%代表24年）。

若他访问的时刻位于第三条直线上的Now位置，也就是说，处于柏林墙生命历程的75%处，那么可以算出，柏林墙的剩余寿命将只有8/3年（8年占了75%，剩下的25%只有8/3年）。

因此，他访问的时刻位于紫色区域时，推算出的柏林墙剩余寿命是在8/3年~24年之间的，因此他声称，柏林墙在未来8/3~24年内倒塌的概率是50%。

当然他也可以把一开始的概率设置成60%或者其他数字，这样将推算出来另一个时间区间，柏林墙生命历程终止于这个新时间区间的概率将为60%。

最终，柏林墙于1989年倒塌。其实，作者写这篇文章的时候已经是90年代了...

下面，他又用同样的方法，给出了人类文明灭亡时间的推算。

这篇文章说人类文明已经存在了200,000年。暂且不管这个数是怎么来的，是从什么人种开始出现算起的，反正差不多。

还是设第一行为整个人类文明进程，其中中间95%被染成紫色。

那么，根据哥白尼原理，我出生这个事件，在整个人类文明进程上应该是均匀分布的，也就是说我出生时间落在紫色区域的概率是95%。

若我出生在第二行的Now位置，人类文明将持续7.8百万年；而若我出生在第三行的Now位置，则人类文明只剩下5100年。

因此得出结论，人类文明在5,100~7,800,000年内灭亡的概率是95%。

整个推导过程没有用到任何现实的数据，居然就能够把人类文明灭亡时间推算出来，非常诡异神奇...而且跟2012世界末日论貌似比较冲突...因此我们不必太担心人类会在近几年内灭亡哈~~

有人可能在想，如果我一个原始人，我存在的那个时刻人类文明只进行了100,000年，用同样的算法进行计算，算出来的人类文明灭亡时间岂不是不一样了？这个算法不就错了吗？...其实，这并不能说明这个算法错了，本来这个灭亡时间就应该随着人类文明已经存在的时间而变化。作为类比，假设全中国所有人的平均寿命是75岁，作为一个已经成功存活了20年的你，寿命期望是多少呢？75岁还是比75岁多？答案应该是多于75岁，因为所有人口的平均寿命包括了一些0岁1岁就死亡了的人，而这样的可能性对你已经不存在了，要了解你的预期寿命应该统计所有活到过20岁的人的死亡年龄作平均，而这肯定大于75岁。如果这个还是不理解，可以想象一个已经活了80岁的人，他还能活的年数期望应该是多少？你肯定不会说是-5岁吧...预期寿命的确随着年龄的增加而增加，同样的，人类文明灭亡时间也应该随着人类文明已经存在的时间而变化。

至今我仍然觉得这个推导方法特别诡异，却相当有道理，说不出它哪里不对...就当个冷笑话看看行了...

我猜您也喜欢：

圆的弦比内接正三角形之边大的概率是多少？

一个有趣的运动学问题

代数基本定理的一个最简单证明

一个与直觉相悖的概率问题及其引发的严肃思考

盘点数学里十大不需要语言的证明

无觅

“医生，弱弱的问一句，这个检测呈阳性是什么意思啊？”

医生：“同志，做好心理准备，你很有可能要悲剧了...目前艾滋病在世界上比较严重，粗略估计大概每1000人中就有一人得艾滋病。我们采用的是某种血液试验检测法用于检测身体中是否含有艾滋病病毒，这种方法相当精确，但也可能带来两种误诊。首先，他可能会让某些真有艾滋病的人得到阴性结果，称为假阴性，不过只有0.05的概率发生；其次，它还可能让某些没有艾滋病的人得到阳性结果，称为假阳性，不过只有0.01的概率会发生。根据这些数据，你差不多可以估计出来自己的囧况了...”

那人：“我X，哥悲剧了...”

OK虚拟的情境到此打住，我现在要问一个问题，请先不要计算，先尝试着用直觉给出一个答案：如果你就是这位哥，在艾滋病检检测呈阳性的条件下，你真的得了艾滋病的概率是多大呢？

请从下面ABC三个选项中选出与你的直觉最接近的：A.90%;  B.50%;  C.10%。

/**************我是计算部分的分割线********************/

好了，下面我们开始计算这个概率，如果对概率论完全一窍不通可以参看任何一个概率课本的贝叶斯公式部分。

我们定义事件A为“被检测人带有艾滋病病毒”，则表示被检测人不携带艾滋病病毒；

定义事件T为“试验结果呈阳性”。

我们要求的是概率 P(A|T)。由贝叶斯公式可知

由定义及医生告诉我们的话可知，其中P(A)=0.001, P(T|A)=1-0.05=0.95, , 。

因此代入数据可得，P(A|T)=0.087。。。！

/**************我是计算部分的分割线********************/

严谨的计算告诉我们，这个概率居然甚至连10%都不到，上面小问题的正确答案应该是C！一般来说正在上大学的学生回答这个问题应该正确率还稍微高一点，不过对于这个世界上不是对概率论很熟悉的大部分人来说，他们基本上没有选对的。我自己抽样调查了几个熟人，都选的A！在这个问题上，直觉和真实的事实发生了严重的冲突。

最关键的问题是，一开始的情景并不是完全虚构的，数据都是接近真实的！因此这就存在着一个严重的问题，绝大部分患者根本不能正确解读医生提供的一些数据。据《环球科学》2009年第八期《被误读的患病率和死亡率》一文，甚至连大部分医生都不能根据这些数据给病人说出一个比较靠谱的解释，大部分医生都严重高估了患病的概率。在诊断过程中，医生往往不参考具体数据，而是更相信自己的直觉和判断；而患者往往对此没有任何怀疑，只是简单的听从医生的建议。

试想一下，一个没有艾滋病的人就因为一次阳性检测结果和对数据的误读，可能产生多严重的后果。他可能丢掉工作，可能产生严重的心理问题，可能被隔离和其他艾滋病病人一起居住，甚至可能因此轻生。

因为利益关系等某些原因，医生和制药方往往又容易故意把病情往重了说，这是这个社会目前大概无法避免的事情。这些人甚至不用假造数据，就仅仅用真实数据都可能让就医者产生严重的错觉，这真的是一场悲剧。

我不知道应该的出怎样的结论，总之对各种人（哪怕是权威人员）说出的话都要冷静理智的看待，并且好好学数学吧。另外，《环球科学》2009年第八期《被误读的患病率和死亡率》一文里有更详尽的说明还举了好多别的例子，看看这篇文章绝对是有必要的。

我猜您也喜欢：

圆的弦比内接正三角形之边大的概率是多少？

神奇的视觉错觉（三）

神奇的视觉错觉（五）

神奇的视觉错觉（一）

有趣的无规行走模型

无觅

在数轴上，0的位置停着一个不动的老鼠，1的位置在初始时刻有一只猫。猫是可以走动的，每一步在数轴上分别以二分之一的概率或朝着正方向或朝着负方向走1的距离。当猫到达0的位置时，猫就抓到老鼠了，游戏结束。问当猫走的步数趋向于无穷大的时候，最终捉到老鼠的概率是多大？一定要先仔细思考再看解答...

解答：

将所求概率记为P。

猫第一步以1/2的概率左行捉到老鼠，对P的贡献是1/2.

猫第一步以1/2的概率右行，到达x=2的位置。为捉到老鼠，猫首先必须左行到x=1的位置，这与问题所求的猫从x=1到x=0位置的情况相同，概率同为P。到达x=1的位置后，游戏又回到初态，猫左行至x=0处概率仍为P。因此，猫先右行至x=2，然后最终回到x=0对P的贡献为1/2*P*P。

因此有P=1/2+1/2*P*P

解得P=1。

最终的结论，居然是猫有100%的概率捉到老鼠，这多少有点出人意料。至少我在之前是怎么都觉得不是100%的...这个问题当时我们宿舍的人讨论了一个晚上都没有结果，我还编了个小程序算了算小数据情况，没想到就被这么一个简单的式子搞定了...

我猜您也喜欢：

趣题：空间四边形外切于给定球，求证四切点共面

一个有趣的运动学问题

棋盘覆盖问题

趣题：求两圆柱相交部分的体积

一个与直觉相悖的概率问题及其引发的严肃思考

无觅

下面给出证明，该证明基本来自《费恩曼物理学讲义》第一卷：

为了证明看起来舒服一些，还是用最原始的模型吧：我站在一个坐标轴上，前为正方向，抛掷一枚硬币，如果正面朝上则我向前走1m，如果反面朝上则我后退1m，在我抛掷硬币次数N足够大的时候，求证我离远点距离的期望值是根号N。

离原点的距离，我们需要一个绝对值来表示，我们设为|D|。为了表示清楚在投掷了N次硬币之后的距离，我们为D加一个下标，可惜网页上显示下标比较麻烦，我就这样表示吧：|D(N)|。可是在这里，用另一种量度进度的方法更为简便，这就是用距离的平方D(N)^2来表示，因为D(N)无论正负D(N)^2总是正的。在这里为了区别开期望值与真实值的区别，我们用<D(N)^2>来表示期望，而D(N)^2表示真实值。

当N=1的时候，毫无疑问D(1)^2=1。

当N>1的时候，D(N)^2的预期值可以从D(N-1)求得。如果走了N-1步以后，我们得到D(N-1)，那么经过N步后，就有D(N)=D(N-1)+1或者D(N)=D(N-1)-1。其平方为：

D(N)^2=D(N-1)^2+2D(N-1)+1或者D(N)^2=D(N-1)^2-2D(N-1)+1

对于大量的无规行走，我们的平均预期值恰好是这两个可能值的平均值。于是D(N)^2的预期值就是D(N-1)^2+1。一般而言，我们对D(N-1)^2所应期望的预期值根据定义就是<D(N-1)^2>，所以

<D(N)^2>=<D(N-1)^2>+1

之前已经说明了<D(1)^2>=1，所以归纳一下就可以得到<D(N)^2>=N。。。！

把上面的式子开平方就可以得到我们要证明的漂亮结果|D(N)|=√N。

话题再回到昨天的游戏上面，他们当然以为最终的某物长度期望值为0，实际上长度为正负根号N。如果是正的就让乙同学给赚了，如果是负的，嘿嘿...

我猜您也喜欢：

代数基本定理的一个最简单证明

关于魔方的几个证明

盘点数学里十大不需要语言的证明

奇妙的证明：周长相等的所有平面图形中，圆的面积最大

一个超级赖皮的数学证明方法——例证法

无觅

偶然间从庞加莱（Poincaré）（又被翻译成彭加勒）的《科学与假设》的概率演算这一章看到了这个命题，他最早由贝特朗提出，故又叫做贝特朗悖论。这一问题有三种解答，答案分别是1/2、1/3和1/4，我怎么也想不清楚到底哪一种是对的，其他的为什么错了，请路过的大牛们帮忙看一看。

解法一：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。

解法二：由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～ 120° 之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。

解法三：弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。

这个问题的答案到底应该是多少呢？

顺便说一下，《科学与假设》里有一个观点我很认同，他觉得古典概型中概率的定义不严谨。定义：“若只有有限个不同的基本事件，且每个基本事件发生的可能性是均等的，则事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以基本事件总数。”可是，定义中出现的“可能性是均等的”如何判断？这是不是用概率来定义概率了？这样的定义不算循环定义么？

注：文中的三种解法及图片来自百度百科。

我猜您也喜欢：

庞加莱的几何学

一个与直觉相悖的概率问题及其引发的严肃思考

有趣的无规行走模型

由哥白尼原理推导人类文明灭亡时间

猫捉老鼠问题

无觅

其方法大致是这样的：完诸如赌大小的几率对等的游戏时，假设你的本金足够大。第一次先压$1，如果输了，下次再压$2，如果这次又输了，下次压$4，如果还输，下次就压$8……一旦你赢了一次，先前所有的损失就全赢回来了，还赚$1，这时你再从$1压起。如此下来，你只要不连续输十几次，你就永远不会血本无归，总是一直一美元一美元的赚，赚到你满足为止。如果你连续输个十几次，那只能怨你运气实在太差了。
这么一听，还真有道理，如果真这么去赌，那不是只赚不赔么？

我有点怀疑，但不敢确定，于是第二天用电脑编了个程序来验证。源代码我懒得在敲一遍了，反正很简单，就是按这个方法模拟，用个随机函数来验证就行了。

结果出乎意料，当本金是$10000时，电脑刚运行了几十秒钟就显示本钱花光了。我又试了几次，结果还是如此。我又改了$100000，结果运行了几分钟都花光了本钱。难道这个方法行不通么？

后来，佘飞道出了其中的破绽。

你要赢得多，就必须多玩。假设想赚到同本金一样多时你就撤手，再假设你现在有本金$1000。这样，你必须要赢1000次才行，需要进行大概2000次的博弈。这样，你只要连输10次你就完了。而连输10次的的概率是多大呢？1/1024。这也就是说，平均每玩1024次，就会出现一个连输10次的情况。因此，输得血本无归并不是什么奇怪事。

因此，千万别赌博！！！

我猜您也喜欢：

两个好玩的数学游戏

圆的弦比内接正三角形之边大的概率是多少？

有趣的无规行走模型

由哥白尼原理推导人类文明灭亡时间

一个与直觉相悖的概率问题及其引发的严肃思考

无觅