宇宙的心弦 » 级数 http://www.eaglefantasy.com 细推物理须行乐 何用浮名绊此身 Mon, 30 Jan 2012 13:21:16 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.3.1 3.14 Today Is Pi Day! http://www.eaglefantasy.com/archives/418 http://www.eaglefantasy.com/archives/418#comments Sat, 14 Mar 2009 08:35:37 +0000 Eagle Fantasy http://www.eaglefantasy.cn/?p=418 我猜您也喜欢： 一个有趣的级数 几个数学娱乐 一个让你和她心有灵犀的数学魔术 狭义相对论重要公式备忘 椅子的稳定性问题 无觅 ]]> 又是好久没有写什么东西了 哎 越是在家闲着就越懒 今天是传说中的白色情人节 不过这跟我没什么关系 今天还是Pi Day 那就说说Pi吧 顺便再熟练一下Tex

首先写一些有关\pi的漂亮的表达式。第一个表达式是最常见的一个，也就是这个表达式曾经激起了我无尽的好奇心，引我走上了自学微积分的道路。其证明在这篇文章中有。

\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+...

\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots

\frac{\pi^4}{90}=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots

\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdot \cdot

下面是两个非常漂亮的连分数表达式：

\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1^2}{3 + \frac{2^2}{5 + \frac{3^2}{7 + \frac{4^2}{9 + \frac{5^2}{11 + \frac{6^2}{13 + ...}}}}}}

\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\frac{9^2}{2+\cdots}}}}}

关于Pi，不得不提欧拉公式：一个简单和谐的公式一下子把数学中5个最基本最重要的数联系了起来（0，1，Pi,e,i）:

e^{\pi i}+1=0

关于pi 还有各种各样其妙的公式，其中不乏稀奇古怪的公式（例如神奇的拉马努金发现的一堆公式），说也说不尽。最后发张图，一个比较有名的麦田怪圈，他的含义就是Pi。

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]]> http://www.eaglefantasy.com/archives/418/feed 3 一个关于级数的疑问 http://www.eaglefantasy.com/archives/86 http://www.eaglefantasy.com/archives/86#comments Mon, 31 Dec 2007 14:59:37 +0000 Eagle Fantasy http://eagle.cuitianyi.com/wordpress/?p=86 我猜您也喜欢： 一个有趣的级数 物理学中的近似——关于无穷小量的计算（基础但很重要） 直上九宵的指数方程 辛普森悖论：诡异的男女比例 潜水艇悖论 无觅 ]]> 大家应该很熟悉ln2的级数展开吧：
ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+……①
把①两边每一项乘以1/2得到：
1/2*ln2= 1/2 -1/4 +1/6 -1/8+……②
上面②的数字间距比较大仅仅是为了与①的相关数字对齐。把①②相加，按照纵列结合各项，于是我们得到
3/2*ln2=1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+……③
我们惊奇地发现，③的右边仅仅通过顺序的变换就可以得到①的右边，但左边却确确实实的不相等！难道无穷级数不支持交换顺序的运算？
有的人马上举出1-1+1-1+1-1+……这个著名发散级数跟我说无穷级数肯定不能交换顺序，可是一定要明确①和③两边是收敛的阿！收敛就决定了这不是个太小儿科的问题。
到底是从①变到③的某个过程不被允许，还是连收敛级数也真的不能交换顺序？我期待有谁能给我个令我信服的答案。

update:最近看了一些书和文章似乎对此问题有些明白了，感谢网友们的帮助！

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]]> http://www.eaglefantasy.com/archives/86/feed 15 一个有趣的级数 http://www.eaglefantasy.com/archives/78 http://www.eaglefantasy.com/archives/78#comments Wed, 22 Aug 2007 21:35:44 +0000 Eagle Fantasy http://eagle.cuitianyi.com/wordpress/?p=78 我猜您也喜欢： 一个关于级数的疑问 一张图证明著名等式 物理学中的近似——关于无穷小量的计算（基础但很重要） 盘点数学里十大不需要语言的证明 奇妙的证明：周长相等的所有平面图形中，圆的面积最大 无觅 ]]> 估计有不少人知道这样一个公式，1-1/3+1/5-1/7+1/9-…=π/4

我很小的时候就见过这个，貌似叫莱布尼茨公式，觉得相当有意思，一些自然数的加减乘除居然出现了π！之后我对这个公式思考了好长时间，总是想不出来怎么来证明。我一直把这个问题记在心里，期盼着那一天能找到他的证法。

我曾经专门找过微积分的书和有关级数的数，遗憾的是，这么经典的一个无穷级数求和居然都没有写到。我近日在数学吧问了一下，好象没有初等数学的证明，有人贴出来了一个不过我没看明白。
有意思的是，今天在读《费曼物理学讲义》有关谐波的章节时，居然看到了这个等式的证法！呵呵，我都惊喜得不行了，居然在经典物理书里面看到了有意思的数学证明！我想把这个证法贴出来，供大家欣赏，相当精彩啊，不过没学过微积分的就不用看了。

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