试想构造一个如右图所示的装置。一个绝缘的圆盘通过摩擦力可以完全忽略的轴承套在一个轴上，可以自由旋转。圆盘上，放着一个与之同轴的线圈，通过这个线圈的电流由同样是放在圆盘上的一个小电池提供。圆盘的边缘上固定着一些金属球，注意它们是和圆盘固连在一起的，这些小球每一个都带有一定的电量Q。现在初始条件为有电流通过，整个装置静止不动。

现设想，如果突然切断电源旁的一根导线导致电流变为0，整个圆盘会发生转动吗？电流减小，导致通过线圈的磁通量减少，而磁通量的变化会在空间中激发出感生电场，感生电场的方向为圆形，可以使全部带电的金属球受到圆盘边缘切向方向的力，从而产生一个净力矩导致整个圆盘转起来。然而，从另一个角度来分析，将得出截然相反的结论：因为切断电源的力大小可以忽略，对整个系统没有力矩的贡献，所以整个系统角动量守恒，圆盘仍然将保持不动（整个系统包括圆盘、金属球、线圈以及电源）！

为什么两种途径的分析会产生截然不同的结果呢？真实的物理情景到底是转还是不转呢？

高中时的我曾以为是要考虑线圈里电子的运动从而使得系统一开始就具有不为零的角动量，其实这显然是错误的，很容易发现其中的破绽，倘若使金属球带相反的电荷，整个圆盘最终将朝着另一个方向旋转，但是初始角动量还是原来的方向，所以明显不对。那究竟是怎么回事呢？

真正的原因是，电磁场具有角动量！高中时的我正是因为没有明白这件事情，所以才一直没有想通。初始状态时，有电流，因此空间中有电磁场，这电磁场就具有一定的角动量，末状态时电磁场消失，电磁场的角动量全部转化为机械角动量，因此圆盘旋转，角动量亦守恒。至此矛盾自然消失。我们刚刚学了一点点磁矢势的概念，因此对电磁场动量加深了理解，但是对于电磁场角动量如何计算还没有太深的研究，因此对上述分析也只能止步于定性分析了。

很显然，像角动量守恒这种原理是永远也不可能被打破的。一旦发现在某种物理过程中角动量似乎不守恒了，要做的事情非常简单，只要在原来的角动量表达式里面再加上一项新的项就可以了，总可以保证有某个角动量量纲的东西继续守恒，我们仍然称之为角动量即可。

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该装置的模样如右图所示，主要用的是棘轮和掣爪。假设有一箱处在一定温度的气体，其中有一根带叶片的转轴。由于气体分子不停的撞击叶片，而且这种撞击总是有微小的涨落，因此叶片会振动、跳动、转动，当然这些运动都是短暂的、无规则的。我们要做的事是在轴的另一端套上一个转轮，使他只能沿着一个方向转动，这就是棘轮和掣爪。于是，当轴试图逆时针（从右往左看）跳动时，他不能转动，而往相反方向跳动时，他能转动。于是，总体来看，轮子将缓慢的转动，或许我们还能将一个绑在绳子上的臭虫给提溜起来！这样我们就制成了永动机，他靠气体运动的微小涨落而把气体的内能转化成机械能。

直接用热力学第二定律就可以否定这个装置成功的可能性，但是如果不从力学以及热力学的其他基本定律对该装置予以反驳的话，我始终觉得难以令人信服。那么，到底这套装置哪里出了问题呢？为什么这样的装置不能达到他永动机的目的？

在看我的分析之前，你最好自己仔细思考思考。

我们必须更仔细的研究装置的细节。这个装置给人最初的印象是能做成永动机，主要是因为细节还没有丰富到让你看出破绽。我们对棘轮必须加以理想化，但是，总还得有个掣爪，而掣爪上又必须有一根弹簧。这一特征没有在图上画出来，但却是很本质的特征。轴想要顺时针转动（从右往左看），为了把掣爪提高一个轮齿的高度，必须克服弹簧弹力做功，我们设这个能量为ε。系统凭借气体无规则运动的涨落可以积聚起足够多的能量ε的几率是e^-(ε/(kT))。但掣爪由于偶然原因而提高的几率也正好是e^-(ε/(kT))。这两个几率是相等的，因此那个可怜的小臭虫只会不停的上下晃动而不会如原来想象的那样一直上升。平常生活中我们是从来没有考虑掣爪由于偶然原因而提高这一事实的，因为这个概率实在是小得我不忽略它都对不起它，我们主动操纵棘轮时可以放心的让他单方向转而不出现意外。而现在棘轮的驱动力也是一个小之又小的力，掣爪的偶然提升已经和这件事发生的概率同数量级了。

如果想看对这个问题更加深入和详细的分析，请看《费恩曼物理学讲义》。

连这么完美的永动机设计都被挑出毛病来了，可见热力学第二定律的正确性的确不容置疑！

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当年20世纪初的时候，物理学大厦貌似被全部推翻了，似乎一切旧的理论都被新的理论所取代了。但是，“在如此多的废墟中间，还有什么东西屹立长存呢？最小作用量原理迄今未经触动，人们似乎相信他会比其他原理更久长。事实上，它是更加模糊，更加抽象。”庞加莱（Poincaré）（又被翻译成彭加勒）如是说。他还说道：“作为普遍的原理，最小作用量原理和守恒原理具有极高的价值，他们是在许多物理定律的陈述中寻求共同点时得到的，因此，他们仿佛代表着无数观察的精髓。”确实，很难想象最小作用量原理会被推翻，因为在最小作用量原理之外我们想不到还有什么更普遍而真实的原理了。现代物理已经全部构建在最小作用量原理之上，如果发现最小作用量原理不成立了，那可以说整个物理就没有什么对的东西了。

据说广义相对论就是建立在最小作用量的基础上的。定性的来说，光在弯曲的时空中走的仍是光程最短的路径，虽然在我们的眼中他并没有走直线，但是就像在篮球上划一条长度最短的线不是直线一样，光在弯曲时空中光程最短的路径并不是直线。因为我对广义相对论不熟悉，这里就不多说了。

费恩曼从高中起就对最小作用量原理非常痴迷，这也正奠定了他后来那么牛的基础。我们现在知道量子力学有三种等价表述：第一种是海森堡建立矩阵力学；第二种是薛定谔建立的波动力学；第三种则是费恩曼建立的基于作用量的量子力学——路径积分。费恩曼的这种表述发明的最晚，但是却是最简捷、最容易理解的一种表述（费恩曼自己是这么说的，到底是不是容易理解我不清楚）。
据说有一次开物理大会的时候，一个叫斯罗特尼克的物理学家做了一个报告，用旧的量子力学方法给出了描述电子从中子上反弹的方式的一些新结果，他在算的时候用了几个月的时间。费恩曼当时刚刚发明他的新理论，急迫的想验证理论的正确性，于是他那天晚上就回去算了同样的东西，想看看能否给出同样的结果。第二天费恩曼找到了斯罗特尼克并对比了结果。斯罗特尼克都快疯了：“你说你昨天晚上算了出来是什么意思，它可花了我6个月的时间！！！”核对结果时，费恩曼还发现斯罗特尼克算的是个零动量转换情况下的特解，而他算得却是这个问题的一种普遍形式的通解！可见费恩曼的理论有多么大的优越性，可见最小作用量原理在复杂问题上的优越性！

不仅仅是相对论、量子力学需要最小作用量原理，甚至同一场理论、弦论都直接把最小作用量原理作为其理论根基。可见，最小作用量原理已经是物理的灵魂了。

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主要参考资料：
《最小作用量原理与物理学的发展》（许良 著）
《费恩曼物理学讲义 第二卷》（R•P•费恩曼 著）
《可怕的对称》（阿•热 著）

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有这样一个事实：假定有一个质点在引力场中通过自由运动从某处移动至另一处——你把它抛出去，他就会上升又落下。如果画出x-t图（为了简化，只考虑一维的运动，设x轴是竖直的轴），那么运动图像是一条抛物线。你可以尝试着通过起点和终点画一些别的曲线，如果计算出经历整条路径期间动能减重力势能对时间的积分，你会发现所获得的数值比实际运动所获得的要大。如果我们设作用量S为

那么上面的事实换句话说就是作用量S在实际运动中取得最小值。对上面字母的解释：t1、t2表示运动的起点和终点时刻，1/2*m*v^2是研究物体的动能，V(x)是其势能（这里把它写成是随x变化的函数）。当物体只受重力的时候，V(x)=mgx。我们在上一篇文章中说过，一个泛函取得极值可以令其变分等于0，所以在力学中，最小作用量原理的特例就写作：



我们可以先定性的理解实际情况确实作用量最小。X增大时势能是增大的，作用量中势能前有个负号，所以应该在x比较大的时候多呆一段时间，而x比较小的地方尽可能快地往上爬，以保证动能减势能之差对时间累积之后尽可能小。

下面我想用基本的微积分变一个惊人的魔术：从最小作用量原理推导出牛顿第二定律F=ma！
我没完整学过变分法，因此我将主要根据《费恩曼物理学讲义 第二卷》第19章的内容，不直接用变分法而用高中生就能接受的初等的微积分来推导。
我们现在想要求的是一个泛函S的极值[之所以说S是泛函是因为，S的自变量是x随时间变化这个函数x(t)]，可以类比当初学导数的过程。先回忆一下我们还没学求导公式的时候是怎么求导的：要求一个函数的极值，我们可以令x有一个无穷小的变化Δx，代入函数的表达之后运算并舍掉高阶无穷小量最后算出Δy，令导数等于Δy/Δx等于0即可求得y在何时取得极值。我们将模仿上述过程求泛函S的极值。

先进行一些前期工作。首先把v换掉，根据v是x对t的导数得到

在下面的推导中，为了方便有时把x(t)简写作x。我们称真实路径为x0(t)，而x(t)则表示某条假想的尝试路径。我们设真实路径与实际路径有一微小差别（当作小量）记作η(t)。同样为了方便有时把η(t)简写作η。因为我们的数学模型规定了p1、p2是空间中两个固定点，因此有η(t1)=0，η(t2)=0（这个规定是必须的，否则得不到任何有价值的东西）。

有了上面这些东西，我们开始对S进行运算。

忽略掉高阶无穷小，即含有η^2或更高次幂的项，得到

下面对V(x0+η)变形，如果知道泰勒级数的人可以容易的理解V(x0+η)如何展开，如果不知道的话也不要紧，类比导数（类比导数是多么重要啊！！！）。我们知道y可以写作y=y0+Δy=y0+y’*Δx，其中y表示y对x的导数。那个η和Δx地位是相当的，V(x)和y地位是相当的，类比着我们可以写出

其中V’表示V的导数。所以

还记得δS的定义吧，它就是我们的尝试路径得到的S减去实际路径得到的S0。所以

现在的问题是，这里是某个积分，虽然我们还不知道x0是什么，但是我确实知道不管η是什么，这一积分必须恒为零。我们需要做的是把积分号里面那部分写成η乘以某个东西，如果这个东西恒为零了，那么整个积分式就恒为零。
所以我们想用所谓的分部积分对S进行变形。分部积分可以从导数的乘法公式得来，假设我们有某个函数f（以t为自变量），我们想求f*η对t的导数，则有

两边同时积分得到

上面的式子就叫做分部积分。令上式的f=m*dx0/dt可以得到

来看上式的第一项，因为前面说过的，η(t1)=0，η(t2)=0，所以第一项等于零！所以

我们终于得到了想要的结果——某个东西乘以η(t)总等于0！那就令这个东西恒等于零好了！看看这是什么？

第一项中x0对t的二阶导数正是加速度a，第二项中势能V(x0)的导数，不正是-F么！！！上面那个式子其实就是F=ma!!!

好了，花了这么大的力气终于从最小作用量原理推导出了牛顿第二定律，从而基本上可以解决任何经典力学问题了。在《最小作用量原理与物理之美2——自然中无处不在的极值》中我举了重力势能最低、表面势能最低的例子，这其实就是作用量中动能那一项恒等于零的结果。需要注意的是，尽管我们总是叫最小作用量原理，实际上作用量不一定最小，它可以是极小值、极大值或者恒定值，重力势能最低实际上是作用量取极大值的情况（作用量中势能前有个负号）。

有了这个力学的最小作用量原理，我们只要把合适的V(x)带进去就可以得到各种各样的结果，很多东西就能被理解了。有人会说牛顿力学不是错的么，相对论更准确，从最小作用量原理推出的是不准确的结果，那么它本身也不会正确。我想说的是，原理本身没有错，主要是我们的推导没有考虑任何相对论效应，作用量本身也没有经过相对论的修正，但是严谨的表述是可以实现的。

主要参考资料：
《最小作用量原理与物理学的发展》（许良 著）
《费恩曼物理学讲义 第二卷》（R·P·费恩曼 著）
《可怕的对称》（阿·热 著）

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费马原理是这么说的：过空间中两定点的光，实际路径总是光程最短、最长或恒定值的路径。
其中光程定义为该介质的折射率乘以路程。写成数学的形式就是：

其中，δ是变分符号，p1、p2表示空间中两个固定点，n为介质的折射率，s表示路程。为了理解上式的含义，我们需要和导数做一个类比。我们对一个函数求导数，如果导数值等于零，那么可以判断出原函数在该点处会取得极小值、极大值或恒定值。上面的式子和导数有一个显著的不同，导数研究的是以字母为自变量的函数的极值，而上式想求的则是以一个函数（位置随时间变化的函数）为自变量的泛函的极值。我们把每一条路径看作是位置随时间变化的函数，把这个函数看作自变量，我们要求的则是各条路径中光程取极值的那条路径；就像我们求导求的是各个x中使得y取极值的那个点。函数求极值可以用导数，泛函求极值则可以用变分法，即δS=0（其中S是一个泛函）。大家就把δ理解成和导数相类似的东西就可以了。

大家可能还见过费马原理的另一种表述：过空间中两定点的光，实际路径总是时间最短、最长或恒定值的路径。就是把光程换成时间t了，即：

这两种表述是等价的，因为

上面推导中v表示光在某介质中的传播速度（v=c/n），c表示真空中光速（是个常数），其余字母的解释和前面一样。
在几何光学中，我们把作用量S定义为

也就是说作用量在几何光学中的形式就是等号右边的那部分。

有了费马原理，就有了全部几何光学，我们可以从费马原理出发退出所有的几何光学定理。这是费马原理的强大威力之一。
首先看最简单的，光在同种均匀介质中沿直线传播，从费马原理当然一眼就能推出来。光走其他的路径肯定比直线所花的时间要长（暂不讨论广义相对论中的时空弯曲）。
再来证明平面镜反射中反射角等于入射角。我们把S点对称到平面镜的另一边，用直线联结S’与P，得到的就是时间最短的路径，联结SO，通过简单的平面几何知识就可以得到反射角等于入射角的结论。
折射定律亦可以从费马原理推出来，但是稍显麻烦，在这里就不定量讨论了。我想说的是光之所以发生折射确实是因为光走那条关了一道弯的路径是时间最短的。记得很小的时候我就知道光可以发生折射，可是我就一直弄不明白好端端的直线光为什么不走，非要走一条怪异的拐弯的路线。我曾经问过很多老师光为什么会发生折射，他们都没有给我满意的答复，直到我看见了费马原理才彻底弄明白了这个问题。

下面我要重点说一下费马原理如何简洁的证明圆锥曲线的光学性质。这里的圆锥曲线都被镀上了一层银，可以当镜子用。
(1)从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆的反射，会汇集到另一个焦点上。证明：根据椭圆的定义，F1P+PF2=定值，根据费马原理，光的实际路径是光程极小、极大或定值的路径，所以F1到圆锥曲线上任意一点再到F2是光走的实际路径，所以从F1发出的光经过圆锥曲线反射会汇集到F2。
(2)从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射会形成平行光束。证明：做出抛物线的准线，F1P等于P到准线的距离，即这两段光程相等。光的实际路径至于光程的取值有关，所以从F1发出的经过抛物线反射的光和直接从准线向右发出的光完全等效，因此从F1发出的光，经过抛物线反射会形成平行光束。
(3)从双曲线的一个焦点发出的经过双曲线反射形成的光，好像是从双曲线的另一个焦点直接发出的。证明：因为F1P-F2P=定值，所以对极值的取得没有影响，即从F2发出的经过P反射的光与从F1直接发出的经过P的光取极值的路径相同，即路径是一样的。故证明了双曲线的光学性质。
要知道，从数学上证明上述性质是相当麻烦的，而有了费马原理则可以几句话就把问题解决，一点高深的数学也没用。这是费马原理的另一个强大威力。

至于费马原理为什么是对的，《费恩曼物理学讲义 第二卷》第19章给出了一个精彩阐述。他是这么说的：“要是他遵循一条需要不同时间的路径，则当它到达时就有不同相位。而在某一点上的总振幅等于光能到达的所有不同路径振幅贡献的总和。所有那些提供相位差异很大的路径将不会合成任何东西。但如果你能找出一整序列路径，他们都具有几乎相同的相位，则小小的贡献便将加在一起而在到达之处得到一个可观测的总振幅。因此，重要路径就成为许多能给出相同相位彼此靠近的路径。”而只有时间取极值的那条路径，才能保证路径有微小变化时时间保持不变（再次与导数类比，函数取极值的那个点，当x有微小变化Δx时，Δy=Δx*y’=0，其余的点Δy都是一个不为0的数）。因此，时间取极值的路径被叠加了，成为了实际路径，而其余的任何可能路径都被不同的相位给抵消没了。

这个甚至可以解释光的衍射现象。当我们用一个很细的狭缝来挡住一部分光时，时间不取极值的某些路径也因为有一部分光被挡住而不能很好的叠加为零，因此这种情况下光并不是总衍直线传播，而是产生了光可以绕到障碍物后面的的现象，即衍射现象。

我们已经看到了最小作用量原理在光学中的应用，它可以代替所有其他几何光学定律。下篇文章我将写最小作用量原理在力学中的特例，以及如何代替整个牛顿力学。

主要参考资料：
《最小作用量原理与物理学的发展》（许良 著）
《费恩曼物理学讲义 第二卷》（R·P·费恩曼 著）
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最小作用量原理是一个令人神往的课题，费恩曼上高中时听到他的老师巴德给他讲的时候就被深深震撼了，我也是一样。当我第一次从费恩曼的书中看到这个原理时，真是有种无法言表的喜悦，好像是我窥见了上帝设计世界的图纸一般。后来我就如饥似渴的学习者有关引人入胜的最小作用量原理的知识，同时越来越被这伟大的原理所吸引。

最小作用量原理这个伟大的思想应该被优秀的中国学生所充分了解，可是据我所知我们班以前除我之外没有人听说过它，在我的积极推广之后才有一些人知道了这么个东西，而利用这个周六的一个交流机会我才把最小作用量原理讲给全班同学听了。从个人角度来说，我认为人活在世上不知道最小作用量原理是一大憾事；从民族的角度来说，一个民族不具备先进的物理思想是很难在科学上引领全世界的，也就是生产力的巨大飞跃总是先发生在外国，我们跟着学而已。古中国文化昌盛，可是却不具备完整科学的思想，看看古代的科技类的书才有多么点，而其中技术类和理论类的比值又是多么高。因此古中国的科技并没有什么突破，蒸汽机、发电机等革命性的发明就不属于中国。而西方从欧几里得、毕达哥拉斯开始就试图建立科学的理论体系，后来牛顿又为科学界作出了一个建立理论体系的表率。西方的科学重思想、重理论、重基础研究，等这些成熟了，技术的飞跃就指日可待了。因此物理思想是非常重要的，重要性远远超过知识本身，尤其是最小作用量原理这样深刻、神奇的物理思想，更应该被我们优秀的中国中学生所掌握。因此，我就在这里担当一个传播者的角色，把这一思想传播给本博客的读者们。

作用量这个概念还是比较抽象的，我不想一上来就给作用量下定义，这样会很难理解，我会在之后的几篇文章中由浅入深的介绍。主要思路如下：
1自然中无处不在的极值
2费马原理
3力学中的最小作用量原理
4作用量渗透整个物理学
5对称守恒与作用量

我的数学水平有限，最小作用量原理的一部分内容因为过于复杂我没有研究明白，我在这里写的仅仅是自认为弄明白了的部分。如果想进一步研究这个问题可以看一下下面的主要参考资料。

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主要参考资料：
《最小作用量原理与物理学的发展》（许良 著）
《费恩曼物理学讲义 第二卷》（R·P·费恩曼 著）
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至于自然界的公理是什么，我还是要说我受费曼的影响太深。费曼认为，宇宙中最基本的两个原理应该是对称守恒和最小作用量原理。我深表同意。这两个原理，我自认为无可厚非的成为宇宙中的最基本公理。关于对称守恒的原理，我还是想选择Noether定理（诺特尔定理）作为基本公理，该定律内容是这样的：宇宙中对称与守恒是一一对应的（它们之间有着某种妙不可言的神秘关系）。例如：空间平移对称对应着动量守恒，时间平移对称对应着动量守恒，空间方向对称对应着角动量守恒，规范性变换对称对应着电荷量守恒，左右对称对应着宇称守恒（这组守恒似乎是破缺了），等等。

有了这组公理，我现在开始推。

首先，考察一些事物的属性。作为空间，他有几个固有性质：平移对称，各向同性，连续性，无限性，有三维（比较保守的观念）等。（引用自：《科学与假设》，彭加勒著）作为时间，他也应该有几个固有性质：平移对称，反演对称（似乎是部分破缺的）等。在关于时间的问题上，我不敢多讨论，也不想多讨论，因为连最牛的科学家都说不清道不明。

因此，通过Noether定理，我就得出了以下几条定理：
动量守恒，能量守恒，角动量守恒。（其他的我在此不予讨论）

根据动量守恒，很明显得到的结论就是牛顿第一定律。

下面我再证牛顿第二定律：F=dp/dt=d(mv)/dt=mdv/dt=ma。证毕。有关定义及具体理解请参见《用逻辑学规范物理学（二）》。

牛顿第三定律其实也就是动量守恒，步骤就不写了。

还可以继续往后推，只要再加一些东西的属性，就可以通过完全的逻辑学方法推出很多结论。

可是，正在我激情似火想大干一场的时候，看到了一些本不该看的东西，例如：哥德尔定理。关于该定理的内容，可以参看《皇帝新脑》(彭罗斯著)，比较详细，但很难懂。我的博客里以前也曾介绍过，详见《关于哥德尔定理》。反正，这是一个告诉我们，形式主义行不通的定理。也就是说，我们不可能做到：通过有限个公理，推出来没有矛盾而且完备的理论体系。这就很大的打击了我，所以，用逻辑学规范物理学系列也就到此为止吧。。。

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如图，O为恒星，直线AC为行星不受引力时的轨迹。设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等，A处的时刻为t1，B为t2，C为t3。现在假设行星不受O的引力作用，那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。现在行星受到引力作用了，因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段时间里，行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）。因此，t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC’）。这样，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。因此，SΔBC’O=SΔABO。因为Δt是任取的，所以在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。

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