2.现在你还敢说，下图两个灰色区域颜色深浅不同吗？自己按照上图方法验证一下便可知晓真相..

3.乍一看，这两批狼的颜色也不相同，可是只看这两只狼的时候就可以看出他俩是完全一样的...

4.如果照明条件改变，你将很难辨清颜色。看一下前两张图，你会对各个块的颜色有一个看法；可是，我如果告诉你，第三张图和第四张图上灰色位置的块，在一二图的对应位置颜色居然是一样的，你会不会相信..？

5.类似的，其实所有的心 颜色都是相同的！

6.下图中，细细的橙色轮廓线紧挨着颜色更深的紫色轮廓线，这使橙色轮廓线附近相当宽广的一片空白区域出现淡淡的橙色，而紫色轮廓线外围的背景仍是白色。

7.你是不是感觉，下图中的女生有一只蓝眼睛和一只灰眼睛？再次可以自己动手验证一下..

8.这3张螺旋的图片很帅。。第一幅中，看起来像紫色和橙色的实际上都是红色；第二幅图，蓝色和绿色的条纹实际上都是青色；第三幅图，看起来像绿色和奶油色的条纹，实际上都是黄色~！

//本文大部分图片来自《环球科学》（《Scientific American》中文版）2010.11期《来自空间之外的色彩》一文..

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本福特定律，也称为本福德法则，说明一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现机率约为总数的三成，接近期望值1/9的3倍，推广来说，越大的数字，以它为首几位的数出现的机率就越低；精确地数学表述为：在b进位制中，以数n起头的数出现的机率为logb(n + 1) − logb(n)。

在十进制中，首位数字出现的概率为：

这个定律的发现，据说是因为本福特在翻对数表的时候发现前面几页被翻得很黑很破烂，越往后越颜色越浅。由此他想到会不会是1开头的数字就是比其他数多，他统计了一下发现果然如此。其实这个对数表的事情真假难辨了，就像是牛顿说自己是被苹果砸到了头才发现的万有引力定律一样，只要最后的定律有用就可以了。

首先说明一下本福特定律的适用范围。这个定律是一个非常神奇的定律，它的适用范围异常的广泛，几乎所有日常生活中没有人为规则的统计数据都满足这个定律。比如说世界各国人口数量、各国国土面积、账本、物理化学常数、数学物理课本后面的答案、放射性半衰期等等数据居然都符合本福特定律。值得一提的是，科学家还发现，统计物理的三个重要分布，Boltzmann-Gibbs分布，Bose-Einstein分布，Fermi-Dirac分布，也基本上满足Benford定律！（来源：李淼）

但是这个定律毕竟还是有适用范围的。第一，这些数据必须跨度足够大，必须横跨好几个数量级才能产生这个结果。第二，有人为规则的数据就不满足次定律，比如说手机号码、身份证号、发票编号等数据，明显不满足这种对数分布律。也就是说，本福特定律正是没有任何限制才显露出来的定律，越是对数据的产生有人为限制，越是不满足该定律。第三，数据不能经过人为修饰，随便人为修改的数据一般就不满足本福特定律了，比如当年著名的安然公司造假案，他们的账本就没有满足本福特定律，因此这个神秘的定律甚至可以用来判别是否财务造假。。

那么到底该如何理解这个神秘的定律呢？为何自然产生的数据会满足这么奇特的一个定律，而不是均匀分布呢？

本福特定律产生的根源，就在于指数增长。这幅图可以直观的显示，如果一个变量随时间成指数增长的话，那么这个变量开头的数字随着时间的变化就应该是如下图：（横轴代表时间，纵轴代表那个变量）

显然，在某时刻你得到它以1开头的概率要大于9开头。而这是只取一个值的情况，如果是取大量的数据的话，在某时刻你观察到他以1开头的数据数量就大于以9开头的数量了。而指数增长的形式在自然界是十分普遍的，只要一个变量的增长率和他的大小成正比，结果就会是指数增长。比如说人类科技发展的速度大致和已有的科技成果成正比，所以人类的科技发展就是个指数增长；人口增长率会和已存在人口数成正比，因此没有资源限制的人口增长也是指数增长。指数增长是自然中极为普遍的一种变化规律，而这种变化规律可以直接导致本福特定律。

另外一种直观的解释（来自维基百科）是这样的：从数数目来说，顺序从1开始数，1,2,3,...,9，从这点终结的话，所有数起首的机会似乎相同，但9之后的两位数10至19，以1起首的数又大大抛离了其他数了。而下一堆9起首的数出现之前，必然会经过一堆以2,3,4,...,8起首的数。若果这样数法有个终结点，以1起首的数的出现率一般都比9大。

就以一个城市的所有门牌号为例，有的街道门牌号可能在100多就结束了，有的在500多结束，有的在900多结束。注意到500多结束那条街一定包含了1、10+和100~199这些1开头的门牌号，而不包含9开头的百位数，只包含9及90+的以9开头的数，这样一来明显以1打头的就多于9打头的了。然后对整个城市的所有街道做一个综合，最终就满足本福特定律了。

另外，值得一提的是，本福特定律满足尺度不不变性，即如果我们换一套单位制，本福特定律仍然成立。其实，这也可以作为大自然产生的统计数据满足该定律的一个解释：如果我们把原来的单位是米的统计数据换一个单位，例如换成英尺或者公尺，那么统计数据的分布应当不变。而唯一满足这种尺度不变性的分布，应当是某种对数分布，也就是本文的主角本福特定律。

以上只是直观的理解，如果想深究它的根本原理，可以参见它的证明：Hill, T. P. "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law." Stat. Sci. 10, 354-363, 1996.。

//原载于果壳网

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第一名：不可能的运动：磁力斜坡（日本明治高级数学研究所，杉原幸吉(Kokichi Sugihar)）

在这个视频中，我们可以四个斜坡从中间一个平台四周向下伸展开来，接着有几个木球被放到斜坡上。令人惊讶的是，木球并非像我们设想的会由平台下滑，而像被无形的磁场吸引着，由斜坡底端“拉”到了平台上。这个看似违背了重力法则的装置并非出自计算机创造的虚拟图像，而是一个可以“眼见为实”的错觉。当装置转动，我们会发现，原来反重力的错觉来源于不同的观察角度——斜坡的真实方向其实和我们最初的判断正好相反，平台才是处于更低的位置。

如果你的目光跟随视频后半段斜坡的移动就会发现，这“不可思议”景象来源于对中间那根支撑柱的错误知觉。根据最初图像的提供的画面信息，我们会很容易默认，画面中所有5根支撑柱都是相互平行，垂直于底面存在的。然而视频后半则揭示出，这完全是视网膜的一个错误解释：不但中央的方柱完全是倾斜的（30秒清晰可辨），连后面两个短支的支柱其实也不是完全垂直的。由于我们对于立体物体的知觉完全是依赖对视网膜上二维图像，例如线条、阴影等信息的快速综合和解释，当信息不完全或恰巧有多解但我们只得到一解时，不可能的场景就出现了。

第二名: 对抗直觉的错觉轮廓 （悉尼大学，巴特•安德逊（Bart Anderson））

我们的视觉系统具有一种强大的“阐释”能力，通过产生一些错觉轮廓以弥补缺失的信息。例如在著名的Kanizsa三角错觉中，我们可以感知到一个明显但并不存在的白色三角形。

在这个错觉动画中，4个圆盘和圆点交替在白色的长方形轮廓内外往复运动，虽然圆盘和长方形的关系可以很清楚的在图中表现出来，但是视觉系统还是不可避免的在长方形轮廓位置制造出了一个强烈的错觉边缘。圆点似乎构造出一个并不存在的菱形轮廓。但是这个错觉还暂时没有能被已知的错觉轮理论所解释，因为运动的圆盘和圆点并不存在可以被解释为其他的形状的模糊部分。

第三名：可以有6种“看法“的曲线 （捷克查理斯大学，简•克雷姆拉切克（Jan Kremlacek））

动画演示见这里...

在这个作品中，用固定和运动点可以组成有六种解释方法的曲线图形！如果线索是向左直线运动的点，我们会看到一股向左运动的激流；当两个颜色不同的圆盘作为线索出现时，我们又会看到一个冲向我们或逆向旋转的螺旋；而当一条曲线作为线索，一条波动的丝带又时而向上时而向下的运动；把圆点中间的空白部分遮住，你则只能看到上下跳动的小点。对于这个作品，克雷姆拉切克认为是因为我们的大脑有能力根据不同线索构建出合理的视觉解释——但是每一次“解释”都只能几种选择性当中的一种。

优胜作品 拉长的浴缸 (美国大学，莉迪亚•马尼亚蒂斯（Lydia Maniatis）)

这个作品是基于一个广告牌上的浴缸图片。当我们站在图片的一端时，浴缸看上去是方方正正的一个；而当你走到广告牌的另外一端，浴缸看上去被拉长并且压缩了。这是为什么呢？作者也给出了他们的解释：这是由于从你不同的位置看广告牌，会在视网膜上留下不同的像，而这些视网膜上不同的成像便形成了不同的三维知觉结果。这一系列视网膜上图像的变化和我们从一个真实浴缸前走过时看到的图像是截然不同的，但我们都倾向于将这些平面图像解释为三维立体大小的实物，因此从不同角度看真实的浴缸是完全一样大小，而看广告牌上的浴缸则会有独特的“伸缩”效果。

优胜作品 大猩猩错觉 （伊利诺伊大学，丹尼尔• 西蒙（Daniel Simons））

这个录像源自于经典的“非注意盲视（inattentional blindness）”实验。在原版的录像中，当人们被要求数出两个球队互相传球的次数时，他们很难察觉到录像中间从队员中穿过还冲观察者做了个鬼脸的“大猩猩”。我们在之前的文章里也有所介绍。但当人们得到有关大猩猩的提示以后，他们便很容易察觉到这先前在意料之外忽略的物体。但是这一次，你有没有看到，背景的幕布改变了颜色？丹尼尔认为，无论我们如何集中注意，仍然无法聚焦所有的物体——总有个“大猩猩”落在我们的期望之外，让我们无法顾及。这里你还能看到丹尼尔穿着大猩猩服装做的现场演示。

优胜作品 胖瘦脸错觉 （约克大学，彼得 • 托马逊(Peter Thompson)）

在面孔知觉中最著名的成果当属倒脸效应：倒立的面孔比正立的面孔更难以识别，甚至有时会完全辨认不出倒立面孔的表情，最著名的例如“撒切尔效应”：倒立的两幅撒切尔夫人头像看似都很正常，正立过来才会发现，右边那副完全不是正常面孔的样子，而是被打乱了五官的位置。

彼得则发现，倒立面孔还可以让脸“减肥”。两幅一模一样的照片，左边那副却看起来并不像右边那幅显得那么胖。研究者认为可能是面孔内五官的特性会影响人们对整体面孔形状的知觉。平时我们对于面孔的知觉来自于对面孔中眼睛鼻子等五官的相对关系。

优胜作品 注意影响的后效竞争（达特茅斯大学，彼得•谢( Peter Tse)）

试着注视一个方向的条纹图形60秒钟，然后把目光转移到旁边的白色背景。无论你注意到哪个方向的条纹，在白背景上只会出现你注意方向颜色相反的条纹图像，反之则会出现另一种颜色！这个效应来自于视觉注意对视觉系统功能的调节。当不同的颜色受到注意时，与处理该颜色有关的视觉锥体神经细胞便会格外兴奋。而由于锥体细胞都是配对“拮抗”工作，例如长时间对绿色兴奋的细胞，在持续工作了几秒钟后，就给大脑发出了“红色”的信号，便在右边的空白地带留下了红色的“视觉后像”。有意思的是，即便中间蓝、黄、绿交叠的地带总是颜色不变，但是却随着注意对象的变化呈现出不同的“后像”色彩。

//以上内容转载自科学松鼠会..原载于这里..

说起那个著名的大猩猩错觉，我想起了这起著名交通事故：

说实话，我第一次看这个视频的时候，只是在感慨那对清华北大的夫妇太可怜了...我真的没有注意到三轮哥！！！这位三轮哥实在是值得膜拜~不知道有多少人和我一样没有看见三轮哥的...

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“医生，弱弱的问一句，这个检测呈阳性是什么意思啊？”

医生：“同志，做好心理准备，你很有可能要悲剧了...目前艾滋病在世界上比较严重，粗略估计大概每1000人中就有一人得艾滋病。我们采用的是某种血液试验检测法用于检测身体中是否含有艾滋病病毒，这种方法相当精确，但也可能带来两种误诊。首先，他可能会让某些真有艾滋病的人得到阴性结果，称为假阴性，不过只有0.05的概率发生；其次，它还可能让某些没有艾滋病的人得到阳性结果，称为假阳性，不过只有0.01的概率会发生。根据这些数据，你差不多可以估计出来自己的囧况了...”

那人：“我X，哥悲剧了...”

OK虚拟的情境到此打住，我现在要问一个问题，请先不要计算，先尝试着用直觉给出一个答案：如果你就是这位哥，在艾滋病检检测呈阳性的条件下，你真的得了艾滋病的概率是多大呢？

请从下面ABC三个选项中选出与你的直觉最接近的：A.90%;  B.50%;  C.10%。

/**************我是计算部分的分割线********************/

好了，下面我们开始计算这个概率，如果对概率论完全一窍不通可以参看任何一个概率课本的贝叶斯公式部分。

我们定义事件A为“被检测人带有艾滋病病毒”，则表示被检测人不携带艾滋病病毒；

定义事件T为“试验结果呈阳性”。

我们要求的是概率 P(A|T)。由贝叶斯公式可知

由定义及医生告诉我们的话可知，其中P(A)=0.001, P(T|A)=1-0.05=0.95, , 。

因此代入数据可得，P(A|T)=0.087。。。！

/**************我是计算部分的分割线********************/

严谨的计算告诉我们，这个概率居然甚至连10%都不到，上面小问题的正确答案应该是C！一般来说正在上大学的学生回答这个问题应该正确率还稍微高一点，不过对于这个世界上不是对概率论很熟悉的大部分人来说，他们基本上没有选对的。我自己抽样调查了几个熟人，都选的A！在这个问题上，直觉和真实的事实发生了严重的冲突。

最关键的问题是，一开始的情景并不是完全虚构的，数据都是接近真实的！因此这就存在着一个严重的问题，绝大部分患者根本不能正确解读医生提供的一些数据。据《环球科学》2009年第八期《被误读的患病率和死亡率》一文，甚至连大部分医生都不能根据这些数据给病人说出一个比较靠谱的解释，大部分医生都严重高估了患病的概率。在诊断过程中，医生往往不参考具体数据，而是更相信自己的直觉和判断；而患者往往对此没有任何怀疑，只是简单的听从医生的建议。

试想一下，一个没有艾滋病的人就因为一次阳性检测结果和对数据的误读，可能产生多严重的后果。他可能丢掉工作，可能产生严重的心理问题，可能被隔离和其他艾滋病病人一起居住，甚至可能因此轻生。

因为利益关系等某些原因，医生和制药方往往又容易故意把病情往重了说，这是这个社会目前大概无法避免的事情。这些人甚至不用假造数据，就仅仅用真实数据都可能让就医者产生严重的错觉，这真的是一场悲剧。

我不知道应该的出怎样的结论，总之对各种人（哪怕是权威人员）说出的话都要冷静理智的看待，并且好好学数学吧。另外，《环球科学》2009年第八期《被误读的患病率和死亡率》一文里有更详尽的说明还举了好多别的例子，看看这篇文章绝对是有必要的。

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这个音乐放在这里让大家下载听一听。

endless.mp3

感觉挺神奇的，这种音乐有个学名叫做Shepard tone（谢泼德音调?），维基百科有介绍见这里。《GEB》这本书上有个配图解释了为什么会是这个样子。

上图中大小表示音的强弱，看着确实是这么回事。音调最高的那一行音越来越弱，直到消失的时候最低的音逐渐从无到有逐渐加强并且升高...而且衔接处是听不出来有音调的突变的...

听着这种音乐，让人不得不联想起埃舍尔的画，一对比就会发现其实这种音乐和下面的画是一种同构：

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一个大的匀速旋转的格子看起来像是几个独立旋转的小格子：

在上面的例子里，我们看到中间有一个小格子，周围有三个或者四个小格子绕着它转。

在下面这张大一点的图里能看到五个到六个格子：

下面来一张慢一点的：

这种现象可能是由于视觉暂留现象引起的，但我也不能给出具体的解释。不知道大家是不是和我一样看得眼晕了。

文章来自：http://www.davidoreilly.com/blog/2008/07/rotating-grid-illusion/

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2.螺旋与圆
(1)这是一张很著名的图片，其中的线条很容易被看成是螺旋线，即使你的眼睛顺着线走也有可能看错。那就用手指着看看，就会发现其实那是一些同心圆。

(2)这个视觉效果更强烈，绝对像螺旋线吧！其实那也是同心圆！

3.图在动，还是心在动系列
眼睛转一转，是不是发现图在动？那么图到底是不是动态的呢？

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2.下面给大家在看几张不可能几何体的图片

上面这张不可能几何体来自Matrix67。他是怎么做的呢？下面这张图片会给你一个答案。

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