欺诈游戏的第二场共有22人参加。这22个人集中在一个阴森的大厅里，参加一个叫做“少数决”的游戏。游戏规则很有意思：主办方随机抽取一个人到台上来，向众人问一个二选一的问题，比如“你信春哥吗”。每个人手里都会得到两张选票，两张选票上都印有自己的名字，但其中一张纸上印有“YES”，另一张纸上印有“NO”。游戏者们有6个小时的时间进行交流和考虑，并要在时间结束前将自己的选择投入投票箱。时间结束后，主办方进行唱票，并规定票数较少的那一方取胜，多数派将全部被淘汰。获胜的选手将进行新一轮的游戏，主办方从剩下的人中重新选一位进行提问，并要求大家在6个小时内投票，唱票后仍然宣布少数派胜出。若某次投票后双方人数相等，则该轮游戏无效，继续下一轮。游戏一直进行下去，直到最后只剩下一人或两人为止（只剩两人时显然已无法分辨胜负）。所有被淘汰的人都必须缴纳罚金，这些罚金将作为奖金分给获胜者。
    这个游戏有很多科学的地方，其中最有趣的地方就是，简单的结盟策略将变得彻底无效。如果游戏是多数人获胜，那你只要能成功说服其中11个人和你一起组队（并承诺最后将平分奖金），你们12个人便可以保证获胜。但在这里，票数少的那一方才算获胜，这个办法显然就不行了。因此，欺诈和诡辩将成为这个游戏中的最终手段。如果你是这22个参赛者中的其中一个，你会怎么做呢？

 
    其实，仔细思考后你会发现，结盟策略也是可行的。事实上，如果你能成功找到7个相信你的人和你结盟，那恭喜你，你们百分之百地获胜了。在游戏的第一轮中，你安排你们8个人中4个人投YES，4个人投NO，因此无论如何，在这一轮中总有你们的4个人存活下来。第一轮游戏的最坏情况是10:12胜出，因此存活下来的人中最多还有6个不是你们队的人。在第二轮比赛中，你们队的4个人按之前的战术安排，让其中2个投YES，另外2个投NO。因此这一轮后留下来的人中总有你们队的2个人，最坏情况下还有2个别的人。最后一轮中，你们两个人一个投YES，另一个投NO，这就可以保证获胜了。只要另外两个人是未经商量随机投票的，总会有一个时候他们俩恰好都投到一边去了，于是最终的胜出者永远是你们队的人。比赛结束后，胜出者按约定与队伍里的另外7人平分奖金，完成整个协议。

    当然，这是一个充满欺诈和谎言的游戏。你无法确定你们队的7个人是否都是好人，会不会在拿到奖金之后逃之夭夭。同时，你自己也可以想方设法使自己存活到最后，在拿到奖金以后突然翻脸不认人，使自己的收益最大化。不过，成功骗7个人相信你很容易，但要保证自己能留到最后就很难了。不过，还有一种阴险狡诈的做法，可以保证你能揣走全部的奖金！当然前提是，你能成功骗过所有人，让大家都相信你自己。
    首先，找7个人和你一起秘密地组一个队伍，把上述策略给大伙儿说。然后，再找另外7个人和你秘密地组建另一支队伍，并跟他们也部署好上面所说的必胜策略。现在不是应该还剩下7个人吗？把剩的这7个人也拉过来，秘密地组成第三支8人小队。现在的情况是这样，你成功地组建了三支8人小队，让每个人都坚信自己身在一个将要利用必胜法齐心协力获得并平分奖金的队伍里。除了你自己，大家都不知道还有其它队伍存在。在第一轮游戏中，你指示每个队伍里包括你自己在内的其中4个人投YES，其余的人都投NO。这样下来，投YES的一共就有10票，NO有12票，于是你和每个队伍里除你之外的另外三个人获胜。下一轮游戏中，你部署每个队伍里包括你在内的其中两人投YES，其它人都投NO，这样YES就有4票，NO有6票，你再次胜出。最后，你自己投YES，并叫每个人都投NO，这就保证了自己可以胜出。拿到奖金后，突然翻脸不认人，背叛所有人，逃之夭夭。

    这在现实生活中虽然不真实，但游戏本身很具有科学性。如果你是这部剧的编剧，你还能想到哪些科学的策略和狡诈的伎俩？

原来的域名http://www.eaglefantasy.cn 在最近一段时间内会被转向到.com上面，所以大家近期还可以通过.cn域名访问，但是过一段时间（大概一两年）这个域名到期了就无法再访问了。

给大家造成的不便敬请谅解…

“医生，弱弱的问一句，这个检测呈阳性是什么意思啊？”

医生：“同志，做好心理准备，你很有可能要悲剧了…目前艾滋病在世界上比较严重，粗略估计大概每1000人中就有一人得艾滋病。我们采用的是某种血液试验检测法用于检测身体中是否含有艾滋病病毒，这种方法相当精确，但也可能带来两种误诊。首先，他可能会让某些真有艾滋病的人得到阴性结果，称为假阴性，不过只有0.05的概率发生；其次，它还可能让某些没有艾滋病的人得到阳性结果，称为假阳性，不过只有0.01的概率会发生。根据这些数据，你差不多可以估计出来自己的囧况了…”

那人：“我X，哥悲剧了…”

OK虚拟的情境到此打住，我现在要问一个问题，请先不要计算，先尝试着用直觉给出一个答案：如果你就是这位哥，在艾滋病检检测呈阳性的条件下，你真的得了艾滋病的概率是多大呢？

请从下面ABC三个选项中选出与你的直觉最接近的：A.90%;  B.50%;  C.10%。

/**************我是计算部分的分割线********************/

好了，下面我们开始计算这个概率，如果对概率论完全一窍不通可以参看任何一个概率课本的贝叶斯公式部分。

我们定义事件A为“被检测人带有艾滋病病毒”，则表示被检测人不携带艾滋病病毒；

定义事件T为“试验结果呈阳性”。

我们要求的是概率 P(A|T)。由贝叶斯公式可知

由定义及医生告诉我们的话可知，其中P(A)=0.001, P(T|A)=1-0.05=0.95, , 。

因此代入数据可得，P(A|T)=0.087。。。！

/**************我是计算部分的分割线********************/

严谨的计算告诉我们，这个概率居然甚至连10%都不到，上面小问题的正确答案应该是C！一般来说正在上大学的学生回答这个问题应该正确率还稍微高一点，不过对于这个世界上不是对概率论很熟悉的大部分人来说，他们基本上没有选对的。我自己抽样调查了几个熟人，都选的A！在这个问题上，直觉和真实的事实发生了严重的冲突。

最关键的问题是，一开始的情景并不是完全虚构的，数据都是接近真实的！因此这就存在着一个严重的问题，绝大部分患者根本不能正确解读医生提供的一些数据。据《环球科学》2009年第八期《被误读的患病率和死亡率》一文，甚至连大部分医生都不能根据这些数据给病人说出一个比较靠谱的解释，大部分医生都严重高估了患病的概率。在诊断过程中，医生往往不参考具体数据，而是更相信自己的直觉和判断；而患者往往对此没有任何怀疑，只是简单的听从医生的建议。

试想一下，一个没有艾滋病的人就因为一次阳性检测结果和对数据的误读，可能产生多严重的后果。他可能丢掉工作，可能产生严重的心理问题，可能被隔离和其他艾滋病病人一起居住，甚至可能因此轻生。

因为利益关系等某些原因，医生和制药方往往又容易故意把病情往重了说，这是这个社会目前大概无法避免的事情。这些人甚至不用假造数据，就仅仅用真实数据都可能让就医者产生严重的错觉，这真的是一场悲剧。

我不知道应该的出怎样的结论，总之对各种人（哪怕是权威人员）说出的话都要冷静理智的看待，并且好好学数学吧。另外，《环球科学》2009年第八期《被误读的患病率和死亡率》一文里有更详尽的说明还举了好多别的例子，看看这篇文章绝对是有必要的。

这项发明实在是太震撼了，我相信这项发明将改变世界。

看了他的工作，想想自己大学都干了些什么，实在自愧不如。今天有同学跟我说，我的网站写的东西都是what i read而不是what i think，她的话一语中的。我也正在反思这个问题，我已经是个大学生了，可以自己思考一些问题了。因此我今后尽量多一些自己的思考，多一些自己的创意。

力学课上 我的表情是▽.▽(拉普拉斯算符)…

线性代数课上 我的表情是T’AT(实对称矩阵正交对角化)…

Setup(quick).exe

Setup(slow).exe

（Update:经检测，在Windows 7\Windows vista\Windows XP SP1 SP2下均可顺利运行，但是Windows XP SP3下会产生诡异的我们暂时无法解决的错误…这是个悲剧…）

下面是readme文件：
/************************************************/
made by 刘冰雁 范翔 吴昊天 北京大学物理学院
/************************************************/
用我们的软件可以用来还原你手上的一个魔方。
双击shabby cube.exe，在空白处右击开始。
选择create a new cube，可以产生一个空白的魔方，用户可以通过右击选择颜色的办法把手头上的一个魔方输入到我们的程序中。
选择create randomly，可以让程序随机的产生一个魔方。
在输入了一个魔方之后，单击左键可以让他开始按照我们的算法旋转。之后的任何一个时刻，你都可以通过单击左键让过程暂停/继续。
在输入了魔方之后的任何一个时刻，都可以按住中键不放晃动鼠标来转动观看角度。
缩放窗口可以调节速度。（这个功能可能在某些系统上不行…）
如果您输入了一个魔方之后魔方爆炸了，那说明您的魔方是错误的不可解的，请您检查一下您是否输入时点错了，或者直接把魔方拆掉在重新装起来…

Xor运算是位运算的一种，和And、Or运算类似，假如a、b都是布尔变量，则a Xor b被定义为：a、b相异则为真(所以中文名字叫做异或)，a、b相同则为假。其真值表为：1Xor0=1, 0Xor1=1, 1Xor1=0, 0Xor0=0。众所周知，位运算也可以用于两个数之间，其定义就是把这两个数转化为二进制，然后一位一位的进行位运算。比如说1Xor4=(001)₂ Xor(100)₂=(101)₂=5。位运算除了具有交换律、结合律这样的普通性质之外，还有几条神奇的性质。

Xor运算的神奇性质之一，就是他自己是自己的逆运算，即对于任何两个布尔变量或者数有(a Xor b)Xor b=a。这一点可以从真值表直接验证。有了这样一个性质，我们就可以把交换两个数的函数swap改进一下。大家应该都知道swap可以这么做：

void swap(int a, int b)

{a=a+b; b=a-b; a=a-b;} 

现在我们知道了Xor运算是本身的逆运算之后，就可以把上面的函数改成这个样子：（在C/C++里面把Xor表示为^）

void swap(int a, int b)

{a=a^b; b=a^b; a=a^b;}

乍一看肯定会觉得这个交换函数写的非常诡异，但是仔细一看就知道其原理和刚才那个是一模一样的。而且因为计算机在执行位运算的时候肯定比加减法要快，所以用Xor写的交换函数实际上还更快呢。

这里有一个有意思的小问题：现在给你2n+1个正整数，其中有n对数和1个单独的数，（这里规定一对数的意思是这两个数相等），然后让你设计一种算法，把这个单独的数给找出来，要求时间复杂度为O(n)。比如说这2n+1个数是1 2 3 2 1，那么这个单独的数就是3。如果你的思路是依次挑出一个数然后和其余所有数比较一下看看是否相等，那就换个思路吧，因为这样的时间复杂度是O(n²)的。答案见本文末尾。

由这条性质还可以干一件很有意义的事情：当硬盘的一个部分损坏之后可以推算出来损坏部分数据！假定我们的硬盘划分成了4个区域，前三个区域用来存放真正的数据，而第四个部分则用来以防不时之需，这上面的数据定义为前三个部分的数据异或之后的结果。举个例子：假如说abc三个部分存放的数据如下：

a: 1 0 0 1

b: 0 1 1 1

c: 1 0 1 0

则第四部分根据定义便是

d: 0 1 0 0

现在假如说系统检测到硬盘的第一部分损坏了，我们就可以利用现成的数据把它给恢复出来，只需要把现有的未损坏的几个部分都异或起来就可以了！因为：a xor b xor c=d  →  a xor a xor b xor c xor d xor d=d xor d xor a  → b xor c xor d=a！就这样，Xor运算应用在了乍一看完全不相干的地方。当然，硬盘分的部分更多一点也不影响这个结论的正确性。

Xor的第二个神奇性质，是他满足消去率，即由a Xor c=b Xor c可以推出a=b，可以用上面一条性质轻松验证。这一点是And、Or运算都不能满足的，是加法减法拥有的性质。有了这样一条性质是很有用的，比如说证明Nim游戏的必胜策略就需要用到，下面我们进入Nim游戏必胜策略的介绍和证明。

因为3堆硬币的情况和N堆的策略是一样的，我就直接拿N堆说事。设这N堆硬币的数量分别为a1,a2,…,an。因为总是打Xor太麻烦，下面我就用C++的习惯用^来代替Xor。

 要知道，像Nim游戏这种博弈问题，最重要的是寻找必败态。这个必败态的的意思就是，这样一种局面摆在面前的话先手必败。其严格定义如下：1.无法进行任何移动的局面是必败态；2.可以移动到必败态的局面是非必败态；3.在必败态做的所有操作的结果都是非必败态。这个还是很好理解的吧，就是自己处在非必败态上总能移动到必败态把必败态留给对方，而对方处在必败态的话总是只能移动到非必败态，把非必败态留给自己，然后自己继续虐对方。

而对于Nim游戏，局面是必败态当且仅当所有堆硬币的数量都异或起来结果为0，即a1^a2^…^an=0！！！为了证明之，我们只要证明它满足上述必败态的三条性质即可。

第一个命题显然，最终局面只有一个，就是全0，异或仍然是0。

第二个命题，对于某个局面(a1,a2,…,an)，若a1^a2^…^an!=0(不等号就用C++的习惯用!=来表示了)，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai’后满足a1^a2^…^ai’^…^an=0。不妨设a1^a2^…^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。这时ai^k<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai’=ai^k，此时a1^a2^…^ai’^…^an=a1^a2^…^an^k=0。

第三个命题，对于某个局面(a1,a2,…,an)，若a1^a2^…^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai’后满足a1^a2^…^ai’^…^an=0。因为异或运算满足消去率，由a1^a2^…^an=a1^a2^…^ai’^…^an可以得到ai=ai’。所以将ai改变成ai’不是一个合法的移动。证毕。

就这样，一个简单而神奇的运算，就搞定了这么个让我绞尽脑汁也毫无头绪的游戏，而Xor运算的出现，又是乍一看完全与问题毫不相干！这正是Xor的奇妙之处，吸引人之处。

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最后给出“找出单独的数”问题的算法：根据Xor运算是本身的逆运算的性质，只要把所有数都Xor起来就可以了！比如说，1Xor2Xor3Xor2Xor1就一定是3了。就这么简单！

桌面上有三行硬币，每一行中分别有a1、a2、a3个硬币，其中a1、a2、a3是可以任意指定的正整数。两个人轮流拿走硬币，每一次只能从某一行中拿走任意多个硬币，谁拿走最后一枚硬币谁就赢了。

比如说a1=1,a2=2,a3=3的情况吧，这时如果轮到我拿了，我可以从第三行拿走2枚硬币，或者可以把第三行的三枚硬币全都拿走，等等；但是我不能同时从第一行和第三行里各拿走1枚硬币。这个简单的情况，可以枚举所有可能性得出结论：先拿的必输。

当a1、a2、a3是任意给定的，在什么情况下先拿的必输呢？必胜策略是怎样的呢？这是一个相当有意思的问题，答案可绝不是显而易见一目了然的。而当我当年看到这个策略长什么模样之后，完全的叹服了。今天我就先不写必胜策略了，大家可以先自己想想，如果下周或者什么时候有时间了再来写。前一阵子我为了熟悉C++自己写了一个拈游戏的人机对弈程序，大家可以点击下面的链接下载。其中包含了必胜策略，所以只要你一步走错就一定会输。

拈游戏.rar

其实拈游戏不仅仅局限于三行硬币，其实最初的问题是N行的，而且神奇的是其必胜策略对于任何N都是一样的。其实这个拈游戏是我上小学的时候奥数老师跟我玩的游戏，最近才发现这个经典的有意思的游戏还有好多人没有玩过，故写此文…

在数轴上，0的位置停着一个不动的老鼠，1的位置在初始时刻有一只猫。猫是可以走动的，每一步在数轴上分别以二分之一的概率或朝着正方向或朝着负方向走1的距离。当猫到达0的位置时，猫就抓到老鼠了，游戏结束。问当猫走的步数趋向于无穷大的时候，最终捉到老鼠的概率是多大？一定要先仔细思考再看解答…

解答：

将所求概率记为P。

猫第一步以1/2的概率左行捉到老鼠，对P的贡献是1/2.

猫第一步以1/2的概率右行，到达x=2的位置。为捉到老鼠，猫首先必须左行到x=1的位置，这与问题所求的猫从x=1到x=0位置的情况相同，概率同为P。到达x=1的位置后，游戏又回到初态，猫左行至x=0处概率仍为P。因此，猫先右行至x=2，然后最终回到x=0对P的贡献为1/2*P*P。

因此有P=1/2+1/2*P*P

解得P=1。

最终的结论，居然是猫有100%的概率捉到老鼠，这多少有点出人意料。至少我在之前是怎么都觉得不是100%的…这个问题当时我们宿舍的人讨论了一个晚上都没有结果，我还编了个小程序算了算小数据情况，没想到就被这么一个简单的式子搞定了…

这样的方程解起来是很简单的，因为最低下的x的指数是他本身，即它的指数是2，因此该方程等价于x^2=2，立刻解得x=√2。

但是，如果题目地形式稍微一变，变成这个样子：

用同样的方法你将会得出同样的答案x=√2。

现在问题来了，既然如此，那么表达式

到底等于几呢？2还是4？

这个数应该是等于2的。用一个很不严谨的方法来看一看：为了求出这个数的上界（这个词貌似用的不太合适），把这个数顶上的√2用更大的数2来替代，则整个表达式坍缩为2，所以结果是不可能大于2的。因此实际上第二个方程是无解的…

看来一旦涉及到了无穷，什么诡异的事情都有可能发生了。连这样基本的方法都能产生出曾根哎…

//好长时间不学无术了哎 为了不荒废这块土地更新一下…

//来自《最迷人的数学趣题》